複素数sin(z)=-iについて

質問

sin(z)=-i
での、zを求めるやり方がわかりません。

z=x+iy

とおき、

オイラーより
(e^zi - e^-zi) / 2i = -i
(e^zi - e^-zi) = 2

e^zi = t とおき、
t^2 - 2t - 1 = 0
t = 1±√2

e^zi = e^(-y+ix)

e^-y = 1±√2
-y = Log(1±√2)

e^ix = 1

e^-y (cos(x) + i sin(x)) = 1±√2

x = 2nπ (n=0,±1,...)

と求めましたが、模範解答と違っていたようです。

どこが違うのでしょうか。

ご指摘よろしくお願いします。

回答No.2

info222_

>t = 1±√2
>e^(zi) = e^(-y+ix)

-------ここから以降が間違い------
>e^(-y) = 1±√2
>-y = Log(1±√2)
>e^ix = 1
>e^-y (cos(x) + i sin(x)) = 1±√2
>x = 2nπ (n=0,±1,...)
-----------------------------------
e^(-y+ix)=1±√2
e^(-y)>0,|e^(ix)|=1なので
(I) e^(-y)=1+√2, e^(ix)=cos(x)+i sin(x)=1
または
(II) e^(-y)=(√2)-1, e^(ix)=cos(x)+i sin(x)=-1

(I)より
y=-log(1+√2)=log((√2)-1),x=2kπ　(k=0,±1,±2, ...)
(II)より
y=-log((√2)-1)=log(1+√2),x=(2k-1)π　(k=0,±1,±2, ...)
これらの２組が答えになります。
答えは２組を併記しても良いし、まとめて
x=mπ,y=log((√2)-(-1)^m)　(m=0,±1,±2, ...)
としても良いでしょう。

回答No.1

yyssaa

＞出だしから違うようです
オイラーより
(e^zi - e^-zi) / 2i = -i
(e^zi - e^-zi) = 2とあるが、
z=x+iyとおくなら
zi=-y+ix
e^zi=e^(-y+ix)=e^(-y)(cosx+isinx)
e^(-zi)=e^(y-ix)=e^y(cosx-isinx)
e^zi-e^(-zi)=(1/e^y-e^y)cosx+(1/e^y+e^y)isinx