i+i^2+i^3+……+i^50の解答

質問

複素数の問題なんですが、自分の解答のどこがダメなのか分かりません。

（問）
i+i^2+i^3+……+i^50を計算せよ。

（解）
与式=(i+i^3)+(i^2+i^4)+……+(i^47+i^49)+(i^48+i^50)
　　　=i(1+i^2)+i^2(1+i^2)+……+i^47(1+i^2)+i^48(1+i^2)
　　　=i(1-1)+i^2(1-1)+……+i^47(1-1)+i^48(1-1)
　　　=0

と計算したんですけど答えと違っていました。
どこがいけなかったんでしょうか？

回答No.1

cruelman · ベストアンサー

このくくり方だと(i^45+i^47)という項が作られます。
i^47はこれで使っちゃいますから(i^47+i^49)という項は存在しません。
(i^48+i^50)も同様

お礼

一個飛びでくくっていたのをすっかり忘れていました。素早い回答ありがとうございました。

回答No.6

kabaokaba

等比数列の和

i(1-i^50)/(1-i)
=i(1-(-1)^25)/(1-i)
=2i/(1-i)
=2i(1+i)/2
=-1+i

お礼

回答ありがとうございました

回答No.5

asuncion

複素平面上において、i をかけるという行為は、
かけられる複素数を90°回転することと同義です。

したがって、
i + i^2 + i^3 + i^4
のセットで、複素平面上をぐるりと1周して、きれいになくなってしまいます。
以降、i^48まではきれいになくなってしまいます。
残るのはi^49 + i^50だけで、これらは、
(i^4)^12・i + (i^4)^12・i^2
と変形できます。ここで、i^4 = 1ですから、結局のところ
i + i^2
= i - 1
となります。

お礼

＞i + i^2 + i^3 + i^4
のセットで、複素平面上をぐるりと1周して、きれいになくなってしまいます。

問題集ではこのやり方でやっていました。そういう意味があったんですね。複素数平面は習っていないので勉強になりました。

回答No.4

asuncion

i + i^2 + i^3 + i^4
= i - 1 - i + 1
= 0

これ以降、i^48まではすべて消えます。

i^49 + i^50
= i - 1

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

fukuda-h

(i+i^3)+(i^2+i^4)というように4項づつ組み合わせるのはいいアイデアですね
i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0で4項づつ0になります。つまり2項余るのです。ここが考え違いですね。
後ろから4項づつ０になっていくと考えて、最初の2項i+i^2＝-1+iが残ります

お礼

回答ありがとうございました

回答No.2

at9_am

全部答えるとルール違反なのでどこが間違っているかというだけですが。

> どこがいけなかったんでしょうか？

変形が間違っています。

おそらく
i+i^2+i^3+……+i^50
=(i+i^3)+(i^2+i^4)+ (i^3+i^5)+(i^4+i^6)+…
と考えたのでしょうけれども、書き出してみれば分かりますが、合いませんよね？

この変形をするなら、正しくは
i+i^2+i^3+……+i^50
={(i+i^3)+(i^2+i^4)} + {(i^5+i^7)+(i^6+i^8)} +…+ {(i^45+i^47)+(i^46+i^48)} + i^49 + i^50
= i^49+i^50
となります。
あとはi^2=-1を使って計算してあげれば答えが出ます。

お礼

回答ありがとうございました