数学A 確率 質問します。

質問

１から９までの番号札が３枚ずつ計２７枚あります。
この札から２枚取り出すとき２枚がおなじ確率なのですが。

分母は27C２ですよね。分子は回答をみると3C２×9となっています。
しかし私は疑問があります。
３C２というのは三つの中から二つを選ぶ組み合わせの総数ですから、区別のない同じ番号札三枚にそれは適応されるのですか？
例えば5なら5の番号札が３枚あるわけですからそこから２枚とろうとする場合同じものを２枚とるのに組み合わせなどあるのでしょうか？
どの２枚をとってもとり方は１通りではないのでしょうか？
変な質問ですいません…

回答No.2

kumipapa

#1さんに補足させて頂きます。

まず言われている事が矛盾。分子が 3Ｃ2 × 9 となっているのが変だ、同じ数字の３枚の札は区別できないのだから、3Ｃ2 を掛けてはいけないのでは？と考えるのであれば、分母を 27Ｃ2 とするのは同様の考え方でおかしいことになる。27Ｃ2 というのは、同じ数字の札を区別して、27枚の異なる札から2枚を取り出す組み合わせの数。もし、分子を単純に9とするならば、分母も同じ数字の札は区別せずに場合の数を求めなければならないはず。
質問者さんのように場合の数を数えて確率を求めるのであれば、
２枚が同じ数字の札である場合の数　9Ｃ1 = 9通り
２枚が違う数字の札である場合の数　9Ｃ2 = 36 通り
で合計 45 通り。こう考えるのが、質問者さんが主張するところの「同じ数字の札を区別しないときの全ての場合の数」でしょう。このうち、２枚が同じ数字の札である場合の数は９通りなので、その確率は9 / 45 = 1 / 5 ということになりますね。そして、これもまた、誤りです。それは、２枚が同じ数字の札になる確からしさと、２枚の札が異なる数字になる確からしさが違うのに、確率計算の上で同じ１通りと数えてしまっているから。

２枚の札が同じ数字になるためには、同じ数字の札３枚の中から２枚を取り出さなければならないので、その３枚を区別して組み合わせを考えると3Ｃ2 = 3 通り。一方、２枚が異なる数字になる場合を考えると、例えば１と２を取り出す場合、それぞれ３枚づつあるのですから、組み合わせは3×3 = 9 通り。ということで、同じ数字を取り出す場合に「１通り」と数えた事と、違う数字を取り出す場合で「１通り」と数えた事とで、起きる確からしさが３倍違う、と考えるのが確率の考え方です。ですから、２枚が同じ数字の札である確率を計算するならば、9×3 / (9×3 + 36×9) = 1 / 13とするか、「３倍違う」に着目して、9 / (9 + 36×3) = 1 / 13としなければなりません。ややこしいですね。

確率というのは、こういう点で、場合の数を求めるのとは異なります。
それじゃあ、えらい難しいことかというとそうでもない。直感的な言い方で申し分けありませんが、同じ番号の３枚の札にこっそりa,b,cと記号をつけたり、色を付けてしまったと仮定しても、その札の番号そのものを書き換えない限り、数字の組み合わせについては起こる事の確率に何ら変化はないでしょう。つまり、確率を考える限りにおいては、同じ物も区別して組み合わせを考えれば良いのです。
今回の問題では、全ての番号札を区別して考えて、全ての事象の数は 27Ｃ2、同じ番号札となる事象の数は 9Ｃ1×3Ｃ2 。こうして事象の数を数えないと、各々の事象が起きる確からしさが同じにならない。で、その確率は (9Ｃ1×3Ｃ2) / 27Ｃ2 = 1/13 と計算されます。

お礼

丁寧にありがとうございました

回答No.1

koko_u_

確率を考えるときには、「同程度に確からしい事象」を意識しましょう。
単純に場合の数を数えるのではなく、同じ頻度で発生する事象の数
をカウントすることが重要です。

お礼

早速の回答ありがとうございます。