数学の関数の極値を教えてください

質問

はじめまして
数学がとても苦手なのですが、数学の課題がでてしまいとても困っています
どうか助けてください

y＝x-1+xの二乗分の4

y＝x二乗logx

y＝1-小さい3√x二乗

の3問です
どうかよろしくお願いします

回答No.1

info222_

[１つ目]
>y＝x-1+xの二乗分の4
この書き方では正しい式が回答者に伝わりません。
y=x-1+(4/x^2)　？
y=4/(x-1+x^2)　？
どちらですか？1

独断で推察して回答します。
　y=x-1+(4/x^2)
として
　y'=1-8/x^3=(x-2)(x^2+2x+4)/x^3=(x-2){(x+1)^2+2}/x^3
　y'=0のとき停留点x=2,
　y''=24/x^4>0,
　x=2でy''=3/2>0なのでyのグラフは下に凸となるから
　x=2でyは極小値y=2-1+4/2^2=2 をとる。
　x<0で　y'>0 yは単調増加。
　x→±0でy→∞。　x=0は漸近線。
　0<x<2で　y'<0 yは単調減少。
　2<xで y'>0　yは単調増加。
　|ｘ|>>1で　y→x-2。　y=x-2は漸近線
（以上の情報を用いて増減表を作成しyのグラフを描いてください。）
y=x-1+(4/x^2)のグラフから
　x=2で極小値y=2をとる。この他の極大値、極小値は存在しない。

[2つ目]
>y＝x二乗logx
y=x^2*log[e](x)
[1つ目]に習ってやってみてください。
対数の真数条件からxの定義域は　x>0
y'=2xlog[e](x)+x=xlog(ex^2)
y'=0(x>0)とするx（停留点）は x=1/√e ただ１つ　(eはネイピア数)
y''=2log[e](x)+3。
x=1/√eでy''=2>0なので yは x=1/√eで下に凸
yはx=1/√eで極小値y=-1/(2e)
（極大値はなし）

[3つ目]
>y＝1-小さい3√x二乗
y=1-(x^2)^(1/3)
[1つ目に習ってやってみてください]
y'=-(2/3)/x^(1/3)<0 (x>0)。
　ｘ>0でy'<0。yは単調減少。
y'=(2/3)/(-x)^(1/3)>0 (x<0)
　x<0でy'>0。yは単調増加。
x=0でy=1で,ｙはx=0で連続なので（y'は未定義であるが）
x=0で極大となる。
∴極大値y=1(x=0) 、極小値なし…(答)