複素数の絶対値の二乗

質問

E = A exp i(ωt - φ1) + B exp i(ωt - φ2) ・・・　<複素振幅の式です>
の絶対値| E | をとって2乗するとき, どのようにすればよいですか？
答えは| E |^2 =√( A^2 + B^2 + 2AB cos(φ1 - φ2))になります

cosとsinの式に直し, 実部と虚部に分けて|x + i y |^2 = (√(x^2 + y^2))^2 の
関係を使ったのですが, なぜこのような解になるかがわかりません

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

E = A exp i(ωt - φ1) + B exp i(ωt - φ2)

簡単のため

p1=ωt - φ1, p2=ωt - φ2

で表す。オイラーの公式により

E=Acosp1+iAsinp1+Bcosp2+iBsinp2=(Acosp1+Bcosp2)+i(Asinp1+sinp2)

E^2=(Acosp1+Bcosp2)^2+(Asinp1+sinp2)^2

=A^2(cosp1^2+sinp1^2)+B^2(cosp2^2+sinp2^2)+2AB(cosp1cosp2+sinp1sinp2)

=A^2+B^2+2ABcos(p1-p2) ...............加法定理使用

　　=A^2+B^2+2ABcos(φ1-φ2)

お礼

ありがとうございます！
解き方がわからなくてモヤモヤしていましたが, すっきりしました.

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。
微妙に2乗と√の付け間違いがありますが・・・

計算の方針は合っていますよ。
最後に加法定理の逆を使います。ωtが消えていることに注目すればよいかと。
一度、それぞれの「角度」をθ1, θ2とでも置いてから計算をしてみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます！
加法定理は色々なところで使うので, 使いこなせるようにしたいです.