複素数の基本事項について2つ質問があります

質問

【質問1】
Wikipedia の複素数の定義の5行目「実部と虚部はそれぞれ～」で用いられている記号の書き方がわかりません。実部，虚部を"Rz"，"Iz"のように書いているのですが，書き方がわかりません。印字ではなく，手書きで書く場合はどうするとよいのですか。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0#.E5.AE.9A.E7.BE.A9

【質問2】
i^2+1=0，i=sqrt(-1)
を満たす i を虚数単位とし，表記することが一般のように思いますが，
i^2+1=0 を実係数2次方程式のように解を求めると，i=±sqrt(-1) となるのではないかと思います。
± のうち，正のものだけを用いることが多いのはなぜですか。

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

z=x+yiのとき
x=Re(z),y=Im(z)
とよく表記します
一般的な書き方が何かは知らないですが、Rzでもおかしくはないです

質問２は
e＾iθをcosθ+isinθと書きたかったからではないでしょうか？(第一象限をよくつかうθで使いたい)

そうなる必然があったかどうかは解りかねます

どちらにしても負で定義してももう一方にはその記号にマイナスをつける必要はあります

回答No.4

alice_44

二次方程式 xx+1=0 には、二個の解 x=±i があるのだけれど、
二個のうちどちらが i でどちらが -i かなんて、
誰も知らないし、確認する方法もありません。
一方を i と名付ければ、他方が -i になるだけです。
i'=-i と置けば、-i'=+i になります。
i と i' のどちらが虚数単位でもよいのです。
途中で変更せず、終始一貫していれば。
そもそも、虚数に正も負もないので、
i や √(-1) が正で -√(-1) が負という訳ではないです。

同様の理由で、複素数の範囲では、
w=sqrt(z) と言っても、ww+z=0 となる二個の w のうち、
どちらの値を意図しているのか判りません。
それを決めるためには、どこかに基準点を設定して、
sqrt(z) が連続関数になるように、z の隣近所を
つないで拡張してゆくことになる。
その基準点(の決め方のひとつ)が i=sqrt(-1) です。
だから、この式は、sqrt を使って i を決めるというより、
i を使って sqrt の意味を決める式と見るべきです。

回答No.3

Tacosan

質問2 だけ.

どちらをとっても数学的には等価だけど, 書いたときに
i=sqrt(-1)
の方が
i=-sqrt(-1)
より短い.

あと, 複素平面上で平方根を考えたときに「-1 の平方根」を上半平面におくか下半平面におくかという問題が出てくるんだけど, 上に置いた方が気分的にいいかな.

まあ, 本質的にどうでもいい話でしかないんだけど.

お礼

>本質的にどうでもいい話でしかないんだけど.
私の研究分野上，どうでもよくない内容ですね

回答No.2

noname#171582

【質問2】
i^2+1=0，i=sqrt(-1)
を満たす i を虚数単位とし，表記することが一般のように思いますが，

i=√ー１はiの定義です。

ｘ^2+1=0 を実係数2次方程式のように解を求める
場合は
ｘ
=±i
=±sqrt(-1)