複素積分、積分路に関する問題が解けなくて困っています。
複素積分、積分路に関する問題が解けなくて困っています。
来年大学院受験です。
問題は
http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/pdf/archive/10math-j.pdf
の第2問です。
(1)不定積分はすぐに解けるのですが、
(2)の積分経路はどうしていいかわかりません。
自分の途中までの回答としては、
(1)はtan^(-1)x + C, (1/2)*log(x^2+1) + C
(2)はS1,S2,S3,S4の経路をそれぞれ
z(t)=1+it (-1≦t≦1)
z(t)=-t+i (-1≦t≦1)
z(t)=-1-it (-1≦t≦1)
z(t)=t-i (-1≦t≦1)
とし、それぞれtで微分すると、
dz=idt
dz=-dt
dz=-idt
dz=dt
となり、それぞれ、
I_1 = ∫(-1～1) 1/(1+it-(a+ib)) * idt
I_2 = ∫(-1～1) 1/(-t+i-(a+ib)) * -dt
I_3 = ∫(-1～1) 1/(1+it-1-it-(a+ib)) * -idt
I_4 = ∫(-1～1) 1/(t-i-(a+ib)) * dt
という風に表せると思いますが、
ここでI_1は定積分すると
log|(i+1-a-ib)/(-i+1-a-ib)|となりましたが、このままでいいのでしょうか？
何かもう少し変化させたりとかできないのでしょうか？
少々行き詰ってしまったので、指標をいただければ嬉しいです。
よろしくお願いいたします。
