積分の問題です

質問

∫(0→1)x√(4x^2 + 1)dx
という積分は、何か魔法のように簡単な解き方があるのでしょうか？

私の見た本では次の行ではすぐに
= [(1/12)(4x^2 + 1)^(3/2)](0→1)
となっていました。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

>何か魔法のように簡単な解き方があるのでしょうか？

置換積分でもできますが、いきなり
　[原始関数](積分範囲)
の式を書けるような魔法は合成関数の積分公式適用のケースだと気がつくことでしょうね。

合成関数の積分公式を習っていませんか？
F(x)=∫f(x)dxのとき
　∫g'(x)f(g(x))dx=F(g(x)）+C

今の場合,頭の中で
　g(x)=4x^2+1, ｆ(x)=x^(1/2), F(x)=(2/3)x^(3/2)
　g'(x)=8x, 8*(3/2)=12
となることを試考してみましょう。
合成関数の積分公式を適用できるケースだなと気がつかないといけませんね。公式を当てはめるためには12を作るため1/12倍すればいいですね。

以上を式にすれば、
　∫(0→1) x√(4x^2+1) dx
　=∫(0→1) (1/12) (8x) (4x^2+1)^(1/2) dx
　=∫(0→1) (1/12)g'(x)f(g(x))dx
　=[(1/12)F(g(x))](0→1)
　=[(1/12)(4x^2+1)^(3/2)](0→1)
2番目～4番目の3行の式は頭の中で試考する式で、表に出ませんが、合成関数の積分公式を適用するための途中式とも言えます。
式を書かなくても、「合成関数の積分公式を適用して」と書いておけば、魔法ではなくなるでしょう。

合成関数の積分公式は、t=g(x)という置換積分することと内容的には同じですが、置換積分は
t=g(x)とおくと、dt=g’(x)dx,　f(g(x))=f(t)という置換の過程を省略できません。一方、合成関数の積分公式を適用する場合は、途中式を書きませんので、知らない人には魔法のように感じるかもしれませんね。
これからも、合成関数の積分公式を使うと簡単に積分することができるケースに遭遇することも多いかと思いますので、是非、習熟し慣れてください。
そうすれば魔法の式も魔法ではなくなるでしょう。

お礼

これです！
ありがとうございます！！

回答No.2

spring135

∫(0→1)x√(4x^2 + 1)dx　　　　　　(1)

4x^2=tとおく　　　　　　　　　　　　(2)

両辺を微分して

8xdx=dtつまり　　　　　　　　　　　　　

xdx=dt/8　　　　　　　　　　　　　　(3)

∫(0→1)x√(4x^2 + 1)dx＝∫(0→4)√(t + 1)dt/8=(1/8)1/(3/2)[(t+1)^(3/2)](0→4)

=(1/12)(5^(3/2)-1)

ポイントは(3)です。きれいにdtでまとまるように(2)を選んだということです。魔法です。

なお4x^2+1=tとおいても計算できます。試験場で思い出せるほうでやればいいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
4x^2+1＝uとでも置いてみれば、どうでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。