積分の問題

質問

次の定積分がうまきいきません。
解き方を教えてください、お願いします。

∫（０から∞）con(ax)/(x^2+b^2)dx

回答No.2

info22_

a>0,b>0の場合　積分を求めると
　#1さんの積分結果と一致しました。なので合っているでしょう。
　やり方は被積分関数が偶関数であることに注目して
　積分区間を(-∞,∞)に直してから、
　#1さん提案の複素積分に直してやるのが簡単でしょう。
通常の狭義積分では特殊関数を使わないと積分できませんね。

なお、a,bの範囲を「a,b実数でb≠0の場合」に拡張した場合の積分値は

　{π/(2|b|)}e^(-|ab|)

となるかと思います。

回答No.1

Ae610

a,bの条件が何も書いてないので、取り敢えず
a＞0,b＞0 (a,b∈実数)で考える事にして・・・、
f(z) = e^(iaz)/(z^2+b^2)として
積分路Ｃを上半平面(C1+C2)
C1：実軸(-R,R)
C2：z = Re^(iθ) (0≦θ≦π)
に取って、留数定理を用いればよいと思う・・・！

計算すると（計算間違えしてなければ・・・）
∫[0→∞){cos(ax)/(x^2+b^2)}dx = (π/2b)・e^(－ab)