統計学、同時分布、密度関数の和について

質問

統計学、同時分布、密度関数の和について

統計の問題で解答を読んで、よく分からない箇所があります。ぜひご教授ください。問題、解答は以下の通りです。

[問題]X,Yは、ともに正の値のみをとる連続型の確率変数でそれらの同時分布はf(x,y)である。このときU=X+Yの密度関数を求めよ。

[解答]P(U<=u) = ∬[x+y<=u]f(x,y)dxdy
であるが、積分変数をxとyからxとt=x+yに変換すると
P(U<=u) =　∫[0,u]dt∫[0,t]f(x,t-x)dx　　　　　　…(1)
これをuで微分することにより
f(u) = ∫[0,u]f(x,u-x)dxが得られる。 …(2)

∫[,]で[]は積分の区間を表しています。

質問内容は２つです。
(1)のところで変数変換をすると、
∫[0,u]∫[0,t]f(x,t-x)dxdtとなります。なぜ∫[0,u]dtが∫[0,t]f(x,t-x)dxと別々にできるのかが分かりません。
また(2)のところでも
なぜ∫[0,u]dt∫[0,t]f(x,t-x)dxを微分して∫[0,u]f(x,u-x)dxが得られるのかも良く理解できていません。

どちらか一方でも分かる方はご教授お願いいたします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

統計学というか多重積分の話ですね。

＞ ∫[0,u]∫[0,t]f(x,t-x)dxdtとなります。なぜ∫[0,u]dtが∫[0,t]f(x,t-x)dxと別々にできるのかが分かりません。

これは、単に記法の問題なのですが、
∫[0,u]dt∫[0,t]f(x,t-x)dx　
という表記は、
（∫[0,u]dt）×（∫[0,t]f(x,t-x)dx）
という意味ではなくて、
∫[0,u]｛dt（∫[0,t]f(x,t-x)dx）｝
という意味です。つまり、
∫[0,u]｛∫[0,t]f(x,t-x)dx｝dt
と全く同じ意味です。
この表記だと、最初の積分記号に対応する変数 dtが一番後ろにあって、[0,u]がどの変数の積分範囲なのかがわからなくなってしまうので、dtを前に持ってきて
∫[0,u]dt∫[0,t]f(x,t-x)dx　
という表記をすることがよくあります。

＞ なぜ∫[0,u]dt∫[0,t]f(x,t-x)dxを微分して∫[0,u]f(x,u-x)dxが得られるのか
これは、高校の数学の範囲の話です。
G(t) = ∫[0,t]f(x,t-x)dx
と書けば
∫[0,u]dt∫[0,t]f(x,t-x)dx
= ∫[0,u] G(t) dt
なですが、これをuで微分すると、
G(u) = ∫[0,u]f(x,u-x)dx
になりますね。

お礼

(1)の方はやはり表記の問題だったのですね。自分でもいろいろ考えてみて、もし∫[0,u]dt∫[0,t]f(x,t-x)dxと∫[0,u]｛∫[0,t]f(x,t-x)dx｝dtが同じだったら、答え一緒になるなぁとか考えていました。

これで、納得できました。

分かりやすい説明ありがとうございます！！