平均値の定理

質問

平均値の定理で無理数の近似値が求まるのはなぜですか？
平均値の定理が意味するところと近似導出との因果関係がわかりません。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

至る所連続で滑らかな関数fの方程式
　　f(x) = 0
を数値的に解く話じゃないでしょうかね。

　ひとつの実数解が欲しくて、解の近似値x[0]なら分かっている場合に、Newton法　
　　x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])
を使って近似値を改良して行ける。解の近くまで来ると、繰り返しのたびに近似解の有効桁数が倍になる、というものすごく速い収束の仕方をします。ただし「x[0]がどういう範囲にあれば収束するか」という収束条件は、f ごとにいろいろである。
　なお、解が無理数かどうか、なんてことは関係ありません。もちろん、たまたま
　　f(x) = x^2 - 3
とかなら、解は無理数になりますがね。
　で、この話は平均値の定理と直接の関係はない。

　一方、解の二つの近似値a[0], b[0]が分かっていて、しかもf(a[0])f(b[0])<0である場合、secant法
　　c = (f(a[n])b[n] - f(b[n])a[n] )/ (f(a[n]) - f(b[n]) )
　　a[n+1] = f(c)がf(a[n])と同符号なら c, さもなくば a[n]
　　b[n+1] = f(c)がf(b[n])と同符号なら c, さもなくば b[n]
を使って近似値を改良する（解が存在する範囲を狭めて行く）、という方法もある。
　こちらは（平均値の定理じゃなく）中間値の定理と直接の関係があり、確実に収束する。

　あー、それから、平均値の定理は「平均値を求めるための定理」なんかじゃありません。

お礼

（一度投稿した質問が修正できないというのは厄介ですね ＾ ＾ ；）

今の自分にはわからないということがわかったのでよかったです。
ありがとうございました。

回答No.1

f272

関数f(x)が[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であれば
(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)となる点c(ただしa<c<b)がある
というのが平均値の定理であり
式を変形すると
f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)
となってf(b)の近似値がf(a)で与えられ誤差はf'(c)(b-a)と評価されるということが分かります。
何か難しいいところはありますか？

補足

＞f(b)の近似値がf(a)で与えられ誤差はf'(c)(b-a)と評価される
↑これはなぜですか？

平均値の定理自体やそれを使った近似値の求め方はわかります。
私が言いたかったのは
なぜ”平均値”を求めるための定理で
”近似値”を求めることができるのかということです。