中心極限の定理について質問があります．

質問

ビュフォンの針の実験を行いπの近似値の平均値をとったところ，πの近似値は 2.6667 , 2.7778 , 3.3333 , 2.963 , 2.7778となった．(それぞれ100回針を投げてπの近似値を求めている．)計算した所このπの近似値の平均は2.90372, 分散は0.05519, 標準偏差は0.23492となった．標準偏差を0.01以下にするには何本針を投げればよいかを中心極限の定理を利用して求めなさい．どうすればよいのか教えてもらえると助かります．

回答No.4

noname#227064 · ベストアンサー

回答No.3補足
> 0.710723というのは計算して求めた値でなく決められた値なのでしょうか？

そこでしたか……。

計算して求められる定数ですが、手計算は難しいです。
通常は、カイ二乗分布表やコンピュータ等で求めます。
Excelなら
=CHISQ.INV(0.05,4)
Rなら
qchisq(0.05,4)
で求められます。
私はRを使いました。

お礼

なるほど、よくわかりました。質問にも丁寧に答えていただきありがとうございました！

回答No.3

noname#227064

回答No.2お礼
> 自由度4のカイ二乗分布の5%点が0.710723という所がよくわからないのですがどういうことなのでしょうか？

自由度4のカイ二乗分布の5%点が0.710723であること自体が分からないってことはないですよね？

なぜ、自由度4のカイ二乗分布を使うのかということなら、正規分布からのi.i.d.な標本について計算した標本分散（ただし、偏差平方和を標本の大きさでわったもの）に標本の大きさをかけて母分散で割ったものが、自由度が標本の大きさ-1のカイ二乗分布に従うからです。

もし違うところが分からないというのであれば補足してください。

補足

0.710723というのは計算して求めた値でなく決められた値なのでしょうか？

回答No.2

noname#227064

平均がμで分散がσ^2である分布から大きさnの標本を無作為抽出する場合を考えます。
中心極限定理によりnが大きければ大きいほどその標本平均の分布は、平均がμで分散が(σ^2)/nである正規分布に近づきます。

この問題において2.6667 , 2.7778 , 3.3333 , 2.963 , 2.7778の値は、平均がπで分散が(σ^2)/100である正規分布からの標本とみなすことができるということです。
となれば、母集団が正規分布で平均が未知である場合の分散の信頼区間の求め方を使うことができます。
（これはわかりますよね？）

(σ^2)/100の信頼係数95%の片側信頼区間は、自由度4のカイ二乗分布の5%点が0.710723であることから、
0.710723 ≦ 5×0.05519/((σ^2)/100)
これを解くことにより、
σ^2 ≦ 5×0.05519×100/0.710723 = 38.82666
と推定できます。

これから、
(σ^2)/n ≦ 38.82666/n
ですが、
(σ^2)/n ≦ 0.01^2
となるようにするには
38.82666/n ≦ 0.01^2
を満たせば良いことがわかります。

n ≧ 38.82666/0.01^2 = 388266.6
であるので、388367回以上必要であることがわかりました。

#1より7倍位回数が増えましたね。

お礼

自由度4のカイ二乗分布の5%点が0.710723という所がよくわからないのですがどういうことなのでしょうか？

回答No.1

noname#227064

１回針を投げた時の近似値の母分散がσ^2とすると、n回投げた時の近似値の母分散は(σ^2)/nとなります。
n = 100のときの標本分散から、
(σ^2)/100の推定値 = 0.05519
となるので、
σ^2の推定値 = 100×0.05519 = 5.519
と推定できます。
σ^2 ≒ σ^2の推定値
としてよければ、
(σ^2)/n ≒ (σ^2の推定値)/n = 5.519/n ≦ 0.01^2
の最後の不等式を満たすようにnを設定すれば良い。
これを解くと
n ≧ 5.519/0.01^2 = 55190
となるので、母標準偏差を0.01以下にするには55190回以上針を投げる必要があります。

中心極限定理は使っていないのですが、母分散の区間推定でもするのでしょうかね？

お礼

解答ありがとうございます！中心極限定理を用いて予測しろとのことなのですが，この定理で本数を求めることはできないのでしょうか？