ロピタルの定理
[定理]
ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)が開区間(ａ,ｂ)で微分可能で、
lim_{x→a+0}ｆ(ｘ)＝０、 lim_{x→a+0}ｇ(ｘ)＝０、 ｇ'(ｘ)≠０
のとき、lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝が存在すれば、
lim_{x→a+0}｛ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ)｝＝lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝
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(proof)
ｆ(ａ),ｇ(ａ)が定義されていて、ｆ(ａ)＝０,ｇ(ａ)＝０ならば、ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)は[ａ,ｂ)で連続である。
そういう場合は、新しくｆ(ａ)＝０,ｇ(ａ)＝０と定義すれば、ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)は[ａ,ｂ)で連続となる。
こうしておいて、(ａ,ｂ)のｘをとれば、ｆ(ｘ),ｇ(ｘ)は[ａ,ｘ)で連続、(ａ,ｘ)で微分可能、かつ(ａ,ｘ)でｇ'(ｘ)≠０だから、コーシーの平均値の定理より、
ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ) ＝ {ｆ(ｘ)－ｆ(ａ)}/{ｇ(ｘ)－ｇ(ａ)} ＝ ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ) (ａ＜ｃ＜ｂ)
のｃが存在し、ｘ→a+0 ならばｃも ｃ→a+0 となるから、
lim_{x→a+0}｛ｆ(ｘ)/ｇ(ｘ)｝＝lim_{c→a+0}｛ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ)｝
lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝の存在は仮定から保証されているので、
lim_{c→a+0}｛ｆ'(ｃ)/ｇ'(ｃ)｝＝ lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝
(q.e.d)
このように、ある参考書に定理の証明があったのですが、この証明で、
"lim_{x→a+0}｛ｆ'(ｘ)/ｇ'(ｘ)｝が存在すれば"
という仮定はなぜ必要なのでしょうか？
簡単なことかもしれませんが、よろしくお願いします。
お礼
ありがとうございました。