2変数の平均値の定理、テイラーの定理

質問

平均値の定理は、1変数の場合だと直感的にも理解できたのですが、2変数となると式をいじると確かに導けるのですが、もうひとつ、地に足が着かない感じです。
その応用のテイラーの定理にしても…。
これらの式は直感的に理解できないのでしょうか。
あるいは、どういうことを主張する式なのでしょうか。
分かる方、教えてください。

回答No.2

noname#5277 · ベストアンサー

2変数関数は、言ってみれば地形のようなものですよね。
ｆ（ｘ、ｙ）は、（ｘ、ｙ）における高さとか。
そういう風に視覚的にイメージすると、直感的に理解できる気がします。
ボクはそうやって理解しましたよ。

ただ、こういうイメージって図がなくて言葉だけだと
先入観を生んでしまいそうなんで、
アドバイスということで。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

jmh

不確かつ不明瞭な記憶ですが…、

次のような本を見たことあります。
　（ＶとＷは有限？次元実？ノルム（計量？）線型空間）
「ｆ: Ｖ → Ｗ に対して、ｆ'(ａ) を線型写像: Ｖ → Ｗ で、
　||ｆ(ａ＋δ)－ｆ(ａ)－ｆ'(ａ)δ|| / ||δ|| ＜ εなモノ」、
「ｆ(ａ＋δ) ＝ ｆ(ａ) ＋ ｆ'(ａ)δ ＋ ε」
…などと、ａ の近くでの ｆ の動きを線型写像 ｆ'(ａ) で近似するというものです。
この本では導関数は、
　　ｆ': Ｖ → Hom(Ｖ，Ｗ)、
　　ｆ'': Ｖ → Hom(Ｖ，Hom(Ｖ，Ｗ))、
　　ｆ''': Ｖ → Hom(Ｖ，Hom(Ｖ，Hom(Ｖ，Ｗ)))…、
　などと？なって、
　テイラーは、
　　ｆ(ａ＋δ) ＝ ｆ(ａ) ＋ ｆ'(ａ)δ ＋ ｆ''(ａ)δδ ＋ ｆ'''(ａ)δδδ ＋ …
　と１変数のときと同じ（見た目の）主張ができてました！
とても分かりやすい本だったのですが、タイトルも著者も忘れてしまいました。