考え方 見て頂けますか？

質問

問題
How many terms of the geometric series 　1+2+4+8+.... must be taken for the sum to exceed 10^11?

答えは３７なんですが私のは３9になるんです。

私の考え方

計算して比（ratio）が2と出たので　
1(1-2^n)/1-2>10^11
= 2^n >10^11+1
= nLog2>11Log10+1
= nLog2>11Log11 　
＝　n>(11Log11)/Log^2　
＝　n> 38.05

n=39

この様な問題は今の私にとってはチャレンジ問題なので考え方なども合ってるかどうかよくわかりません。
それなりにかなり考えたのですが見て頂けますか？

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

数式の書き方がめちゃくちゃです。

入試では完全に０点です。

1(1-2^n)/1-2>10^11
= 2^n >10^11+1
= nLog2>11Log10+1
= nLog2>11Log11 　
＝　n>(11Log11)/Log^2　
＝　n> 38.05

こんな書き方は決して許されません。左端の＝は書いてはいけません。

「条件は

1(1-2^n)/1-2>10^11

整理して

2^n >10^11+1

両辺の対数をとって

nlog2>log(10^11+1)

n>log(10^11+1)/log2>log(10^11)/log2=11/0.3010=36.54

n>36.54

n=37のとき

log(2^n)=log(2^37)=37log2=37*0.3010=11.13811

よって

2^n>10^11.138

2^n-1>10.11

対数の値はlog2=0.3010だけ使いました。最後のを数値的に納得できるか否かは任せます。

答　n=37

お礼

詳しく書いて下さって有難うございます。
この様な場合は＝は付けてはいけないのですね、わかりました。
正しい計算の仕方を見せて頂きとても為になります。

すみません、もうひとつだけ質問させて下さい。

nlog2>log(10^11+1)

から

n>log(10^11+1)/log2

になるのはわかります。

しかし

この式　↓　へと変わっていくのがわかりません。　

n>log(10^11+1)/log2>log(10^11)/log2

この全体の式が理解出来ません。　特にlog(10^11+1)　と　log(10^11)がわかりません。　右側のは何故＋１が無いのですか？

電卓で　log(10^11+1)/log2　と打つと正しい答えが出ました。
n>log(10^11+1)/log2　で終わっては駄目なのでしょうか？

もしまだ　お時間があればお願いします。

補足

再質問しといて申し訳ないですが正しい答えが出るまでの式が理解出来る様になったので今回はこれで満足なので締め切ります。
とても助かりました、有難うございました。

回答No.1

over_the_galaxy

考え方はあってます。
3行目から4行目に移る際に誤ってます。
11log10+1=11log11ではありません。

お礼

ああ、少なからずある程度は出来てて良かった。
３行目から見直します、有難うございました。