気体分子の確率分布

質問

分子の分布確率の問題で、

２つの領域の容積が等しい箱の中に、N個の分子があるとする。
N個の分子のうち、右側の領域に来る分子n個を選び出す組み合わせは
N！／{n!(N-n)!}

n個が右側、残りのN-n個が左側の領域にある確率は
P(n)=(1/2)^N・N!/{n!(N-n)!}
N>>1のとき
スターリングの公式より
logP(n) = log(N!)-log(n!)-log(N-n)!-Nlog2
≒ -N(log2+(n/N)log(n/N)+((N-n)/N)log((N-n)/N))・・・(1)

P(n)が (n/N)=(1/2)になることを予想して
x=(n/N)-(1/2)　とする。

ここまでは理解できたのですが

対数関数の展開式
log(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-…
を利用して(1)を展開し、xを連続関数と見なして、
xがxとx+dxの間にある確率をP(x)dxとすると、
P(x)=(√2N/π)exp(-2Nx^2)　になる。

この展開式からからP(x)までの変形が分かりません。

規格化条件からexpの係数が√2N/πになるのは分かったんですが。。。

ご教授よろしくお願いします。
また何か参考にできるサイト等ありましたら教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

１．
>x=(n/N)-(1/2)
を使って、
logP(n) ≒ -N(log2+(n/N)log(n/N)+((N-n)/N)log((N-n)/N))・・・(1)
の右辺からnを消去

２．
>log(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-…
を使って１で得られた式を展開し、ｘについて最低次の項のみをとる。

※答えを見る限り、ここまででP(n)∝exp(-2Nx^2)という事が分かるはずです。

３．
x～x+dxの範囲に対応するnの範囲をn～n+dnとすると、P(x)dx=P(n)dnが成り立つので、
P(x)∝exp(-2Nx^2)

４．
P(x)=C exp(-2Nx^2)として規格化条件からCを求める

という流れかな。

補足

大変分かりやすい回答ありがとうございました！
やってみます！