収束級数の和の問題

質問

級数の問題を解いているのですが、以下の問題が分かりません。

1) Find the sum of the convergent series.
∞
Σ　(-1)^n (4/(n+10)(n+12))
n=1

2)Find the sum of the convergent series.
∞
Σ　6/(n+5)(n+7)
n=1
自分で出した答えは13/7だったのですが、自信がないです。

3)Use the Limit Companison Test to determine whether the series
∞
Σ　9/(ｎ^4 ＋８)^(1/8) converges or diverges.
n=1

これは収束の方でいいのでしょうか？limit companisonを
当てはめる時に分母をどうすればいいのか分からないです。

4)Determine the convergence or divergence of the series.
∞
Σ 6/n^(7/6)
n=1
これは収束ですか？
∞
Σ1/n^p = 1/1^p + 1/2^p + 1/3^p・・・
n=1
の時にp>1なら収束というルールから判断したのですが、
収束かどうか自信がないです。

よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

1)と2)部分分数展開で解けます．
大学受験でやるようなやつ．
有限和がどうなるか（極限を考えるので整理しなくてもよい）が
分かればすぐです

1)は(-1)^nが嫌な感じですが，
部分分数展開をしてきちんと各項を書き下してみるとわかります．
＃飛び飛びに消えるのと，(-1)^n=(-1)~{n+2}なのがトリック

2)は・・・3( 1/6 + 1/7 )じゃないですか？
部分分数展開の分子を忘れてる気がします．

3)「Limit Companison Test」ではなく
「Limit Comparison Test」でしょう
なんとなく「発散」．分母は「n^4」でこれを 1/8 乗してるから
大雑把に分母は n^{1/2} という感じで 4)で使ってることから
発散の印象．
証明は，各項が正で発散する級数をもってきて
比較すればよいのでしょう．分母が 1/2 乗のオーダーなので，
1/2よりも大きくて1未満のオーダーの分母の級数をもってくればよく，
適当に Σ 1/n^{3/4} とかと比較したらどうでしょう．

4)収束です．まじめにやるならきちんと，
区分求積っぽく考えて証明することになります．
p>1の定理が既知であるならそれを使って構わないと思います．

お礼

回答ありがとうございました。
３番はおっしゃるとおりLimit Comparison Testです。
タイプミスしてすいませんでした。
おかげさまで全て答えることができました。
質問に答えてくださって感謝します。

回答No.2

info22

1)
-1/66

2)
13/14

3)
発散のようです。
n≧3で　9/(n^4+8)^(1/8)≧{9^(7/8)}/√n
Σ[n=1,∞] {9^(7/8)}/√n=∞

4)
6ζ(7/6)≒39.535293
ζ(x)はゼータ関数です。詳細は次のURL参照ください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

回答ありがとうございました。
ゼータ関数のこと恥ずかしながら知りませんでした。
wikiを見てみます。

回答してくださって感謝します。