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FIBONACCI NUMBER
今アメリカの学校の数学の宿題をしてるんですが直接英語で問題出させてもらいます。（日本語に訳そうと思ったんですがいってる意味が不確かなので訳せませんでした。ごめんなさい） there are so many relationships involving the fibonacci numbers that a journal and numerous books have been devoted to them. here are two that you are to investigate: 1 let S(n) be the sum ofthe first n Fibonacci numbers. Find a formula for the sequence formed by the partial sums S(n) 2 let Q(n) be the sum of the squares of the first n fibonacci numbers. find a formula for Q(n) in terms of the nth fibonacci number, F(n) 一応自分でfibonacci numberはgeometricなので合計の式はSn=An(1-r^n)/1-rを使うと推測させてもらいましたがそれからどうするのかがさっぱり分かりません。
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- zk43
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1はS(n)=F(1)+F(2)+…+F(n)をnの式で表わす 2はQ(n)=F(1)^2+F(2)^2+…+F(n)^2をF(n)で表わす という意味だと思います。 フィボナッチ数はF(n+2)=F(n+1)+F(n)、F(1)=1、F(2)=1によって帰納的 に定義される数列であるということは既知とします。 また、F(n)の一般項もご存じのこととします。 1は、F(k)=F(k+2)-F(k+1)において、k=1,2,…,nとして和をとると、 F(1)+F(2)+…+F(n)=F(n+2)-F(2)=F(n+2)-1 となり、F(n+2)をnで表せば良いです。 2はF(k+2)=F(k+1)+F(k)の両辺にF(k+1)を掛けると、 F(k+1)F(k+2)=F(k+1)^2+F(k)F(k+1) 移項して、 F(k+1)^2=F(k+1)F(k+2)-F(k)F(k+1) k=1,2,…,n-1として和をとると、 F(2)^2+…+F(n)^2=F(n)F(n+1)-F(1)F(2) ここで、F(2)=F(1)なので、F(1)F(2)=F(1)^2 よって、 F(2)^2+…+F(n)^2=F(n)F(n+1)-F(1)^2 移項して、 F(1)^2+F(2)^2+…+F(n)^2=F(n)F(n+1) 「in terms of the nth fibonacci number, F(n)」とあるので、これが 答えとなります。
- kkkk2222
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ーーー 要、最大画面。 フィボナッチ数 はフィボナッチ数列の各項。 １， １， ２， ３， ５， ８， １３， ２１， ３４， ５５，８、・・・ 一般項は Ａ（１）＝１ Ａ（２）＝１ Ａ（Ｎ）の導出は隣接三項間の漸化式による。 Ａ（Ｎ＋２）＝Ａ（Ｎ＋１）＋Ａ（Ｎ） 特性方程式 Ｘ＾２＝Ｘ＋１ の解をα、β α＝（１／２）（１＋√５） β＝（１／２）（１ー√５）として、 Ａ（Ｎ＋２）ーαＡ（Ｎ＋１）＝β【Ａ（Ｎ＋１）ーαＡ（Ｎ）】 Ａ（Ｎ＋２）ーβＡ（Ｎ＋１）＝α【Ａ（Ｎ＋１）ーβＡ（Ｎ）】 Ａ（Ｎ＋１）ーαＡ（Ｎ）＝β＾（Ｎ－１）【Ａ（２）ーαＡ（１）】 Ａ（Ｎ＋１）ーβＡ（Ｎ）＝α＾（Ｎ－１）【Ａ（２）ーβＡ（１）】 （βーα）Ａ（Ｎ）＝β＾Ｎーα＾Ｎ Ａ（Ｎ）＝（α＾Ｎーβ＾Ｎ）／（αーβ） Ａ（Ｎ）＝（1/√5）【［（１/２）（１＋√５）］^Nー［（１/２）（１ー√５）］^N】 ーーー 普通は、ここで終了です。 ＃１でＳＵＭとかいてありますが、 Ｌet S(n) be the sum of the first n Fibonacci numbers. Ａ（Ｎ） Find a formula for the sequence formed by the partial sums S(n) 数列 部分和 どうよんでも、Ｓ（Ｎ）＝Σ［Ｋは１、Ｎ］Ａ（Ｋ）の意味ですが。 やった事ないですが、やってみますが無意味な計算です。 面倒なので、α、β、１／（βーα）＝Ｄ Ｓ（ｎ） ＝DΣ［ｋは１、ｎ］（α＾kーβ＾k） ＝DΣ［α（α＾k-1)ーβ(β＾k-1）］ 単に、等比数列の和になるだけです。 ＝D［α(1-α^n)/(1-α)ーβ(1-β^n)/(1-β)］ 終了です。 ーーー ＃２ Ｌet Q(n) be the sum of the squares of the first n fibonacci numbers. Q(n)はＡ（ｎ）の平方の和 Ｆind a formula for Q(n) in terms of the ＜n＞th fibonacci numberF(n). F(n)＝Ａ（ｎ）＝ＴＥＲＭ【数】項 殆んど形式的な計算です。 Q(n)＝(D^2)Σ［（α＾k)ー(β＾k）］^2 =(D^2)Σ［（α＾2k)- 2（α＾k)(β＾k） + (β＾2k）］ =(D^2)Σ［（α＾2k)- 2（α＾k)(β＾k） + (β＾2k）］ 画面からはみだしそうなので、３つにわけます。 Q１(n)=(D^2)Σ(α＾2)［(α＾2)^(k-1)］ =(D^2)(α＾2)［1-(α＾2)^n］/［1-(α＾2)］ Q3(n) =(D^2)(β＾2)［1-(β＾2)^n］/［1-(β＾2)］ Q2(n)=ーΣ［ 2（α＾k)(β＾k） ］ ーQ2(n)=２Σ［ （αβ）＾k)］ ＝２Σ［（αβ）（αβ）＾（k-1)］ ＝２（αβ）［1ー（αβ）＾ｎ］/［1ー（αβ）］ 終了です。 ーーー
>1 let S(n) be the sum ofthe first n Fibonacci numbers. Find a formula for the sequence formed by the partial sums S(n) >2 let Q(n) be the sum of the squares of the first n fibonacci numbers. find a formula for Q(n) in terms of the nth fibonacci number, F(n) フィボナッチ数の定義 F(1)=1, F(2)=1, .... , F(n)=F(n-1)+F(n-2) を使って証明できます。(下記ページ参照) ---------------------------------------- http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/fibonacci/fibonacci.htm >フィボナッチ数を極める / 性質1 S(n)/ 性質11 Q(n)
