３次方程式の共通解

質問

３次方程式x^3+x^2+ax+2=0とx^3+x^2-2x-a=0とが共通な解をもつように、定数aの値を定めよ。ただしa≠-2とする。更にこのとき、この２つの方程式の解をすべて求めよ。

共通解のもんだいで、３次方程式と言うのが初めてなので、どこから取りかかればいいか、いまいち分かりません。どうかどなたか、教えてください。

回答No.2

hinebot · ベストアンサー

やり方としては、２次方程式の場合とそんなに変わりません。（２次方程式でないと使えない方法もなき西もあらずですが…）

共通界をt とおくと
t^3+t^2+at+2 =0 ----(1)
t^3+t^2-2t-a =0 ----(2)
が成り立つ。これをtとaの連立方程式とみなすわけです。
(1)-(2)を計算するとうまくt^3,t^2が消えてくれます。
(1)-(2)より
(at+2)-(-2t-a)=0
(a+2)t+a+2=0 すなわち (a+2)(t+1)=0 が成立する。
条件より、a≠-2 なので　t=-1
つまり、共通解は -1 であることがわかる。
これを(1)[(2)でもよい]に代入して
(-1)^3+(-1)^2-a+2 =0　　∴a=2

このとき、２つの３次方程式は…

と、ここまでにしておきましょう。
あまりやってもためにならないですから。
共通解がx=-1 と判っているので、上記の因数分解も楽でしょう。
２つの方程式の解は、
一方が x=-1, x=±(√2)i
他方が x=-1, x=±√2
になると思います。

お礼

ありがとうございます。
本当に、２次の時とあまり変わりませんね。
３次ということに少し反応しすぎたようです。
きちんと最後まで解くことが出来ました。

回答No.1

kajina

共通解をpとでもおいて、2式に代入して両辺引いてください。すると、
(a+2)(p+1)=0
となります。いま、a≠-2より、共通解p=-1が求まり、これをどちらかの式にいれて定数aを求めればよいでしょう。あとは因数分解してください。

お礼

ありがとうございます。