2次方程式

質問

次の問題をわかる方いらっしゃったら回答御願いします...！

2次方程式2x^2-(3a+5)x+a^2+4a+3=0...(1)(aは定数)

(1)x=-1が方程式(1)の解であるとき、aの値を求めよ。

(2)方程式(1)の解をaを用いて表せ。

(3)方程式(1)の解がすべて、不等式3a-5<2x<3a+5を満たす
　xの範囲内にある時、aの値の範囲を求めよ。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

2次方程式2x^2-(3a+5)x+a^2+4a+3=0...(1)(aは定数)

(1)x=-1が方程式(1)の解であるとき、aの値を求めよ。

x=-1を代入して

2+(3a+5)+a^2+4a+3=0

a^2+7a+10=0

因数分解して

(a+2)(a+5)=0

よって

a=-2またはa=-5

(2)方程式(1)の解をaを用いて表せ。

解の公式より

x=[3a+5±√(a-1)^2]/4

x=(a+1)またはx=(a+3)/2

(3)方程式(1)の解がすべて、不等式3a-5<2x<3a+5を満たす
　xの範囲内にある時、aの値の範囲を求めよ。

3a-5<2(a+1)<3a+5 (1)

3a-5<(a+3)<3a+5 (2)

(1),(2)をともに満たす範囲を求めればよい

(1)　3<a<7

(2)　-1<a<4

よって

3<a<4

お礼

お早い回答ありがとうございます...！！助かりました！

回答No.3

spring135

＃1です。最後の４行を訂正します。

(1)　-3<a<7　　（これが間違って3<a<7になっていました。）

(2)　-1<a<4

よって

-1<a<4

回答No.2

asuncion

2x^2 - (3a + 5)x + a^2 + 4a + 3 = 0 …… (1)

設問1
x = -1が方程式(1)の解であるから、(1)にx = -1を代入する。
2 + 3a + 5 + a^2 + 4a + 3 = 0
a^2 + 7a + 10 = 0
(a + 2)(a + 5) = 0
∴a = -2, -5

設問2
解の公式を使う。
x = {3a + 5 ± √(9a^2 + 30a + 25 - 8a^2 - 32a - 24)} / 4
= {3a + 5 ± √(a^2 - 2a + 1)} / 4
= {3a + 5 ± (a - 1)} / 4
= a + 1, (a + 3) / 2

設問3
方程式(1)の解であるx = a + 1およびx = (a + 3) / 2は、ともに
3a - 5 < 2x < 3a + 5を満たす。

x = a + 1のとき
3a - 5 < 2a + 2 < 3a + 5
3a - 5 < 2a + 2より、a < 7
2a + 2 < 3a + 5より、a > -3
∴-3 < a < 7 …… (2)

x = (a + 3) / 2のとき
3a - 5 < a + 3 < 3a + 5
3a - 5 < a + 3より、a < 4
a + 3 < 3a + 5より、a > -1
∴-1 < a < 4 …… (3)

(2)(3)をともに満たすaの範囲は、-1 < a < 4

正しいかどうか、保証の限りではありません。

お礼

回答いただきありがとうございます！参考にさせていただきます！