【数学】命題の証明の問題

質問

整数a、bについて、aまたはbが3で割り切れないならば
a^2+b^2は3で割り切れないことを証明せよ

1 a=3m±1、b=3n
2 a=3m±1、b=3n-1
3 a=3m±1、b=3n+1

と場合分けをするのですが
この3つはどの様にして分けたのですか？
1は、aは3で割り切れないが、bは3で割り切れる。という意味なのは分かるのですが
2と3の意味が分かりません。

また、aが3で割り切れないのを証明するのに、
a=3m+1かa=3m-1かのどちらかだけで考えては駄目なのですか？
3で割り切れないことを言いたいのなら3n+1もしくは3n-1だけで良いかなと思ってしまいます。
2と3のb=3n-1、b=3n-2も分かりません。

宜しくお願いします。

回答No.1

masa072 · ベストアンサー

aまたはbが3で割り切れない、ということは、a,bの少なくとも一方が3で割り切れないということですね。
ということは、aが3で割り切れないことにすれば、bは3で割り切れても割り切れなくてもかまいません。
（aが3で割り切れてbが3で割り切れない場合は、aが3で割り切れずbが3で割り切れる場合で証明できていることは大丈夫でしょうか）

さて、3で割り切れない場合というのはどういう場合があるかといえば、3で割って余りが1と2の場合があります。
3で割って余り1…3m+1
3で割って余り2…3m-1（3m+2でもかまいません。2余ることと1足りないことは同じです）
余りが違いますから、この2つは区別しなければなりません。
aは3で割り切れないので3m+1と3m-1の場合がありますが、a=3m±1として余りが1の場合と2の場合の両方について一気に述べています。
bは全ての場合がありますから、余りが0,1,2となるように3n,3n+1,3n-1とおいています。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

tekcycle

解答の作り方は色々ありますが、
3で割り切れる、それより1小さい、それより1大きい、という3パターンを考えているわけです。
では、ａｂについて、どういう「組み合わせ」があるでしょうか？全部挙げてください。
そのうち、「ａまたはｂが3で割り切れない場合」と「そうで無い場合」はどうなっているでしょうか？
と考えると、すくなくともその解答の一部だけ見れば、私には雑な解答に見えます。
解答の作りように依りますが。
しかし、そこのベースの理解を欠いたまま、雑な解答に振り回される事態は、あまり良くはないでしょう。

お礼

ありがとうございます。