証明問題です。回答お願いします。

質問

証明問題です。回答お願いします。
a、bを３で割り切れない整数とするときa^4+a^2b^2+b^4は３で割り切れることを証明せよ。

私は、(a^2+b^2)^2-(ab)^2に因数分解して
整数ｍ、ｎで
（i）a=3m+1,b=3n+1のとき（ii）a=3m+1,b=3n-1のとき
（iii）a=3m-1,b=3n+1のとき（iv）a=3m-1,b=3n-1のとき

と考えたのですが、因数分解した式に代入した後、次数が大きすぎてどう処理したらうまくいくか分からなくなりました・・・

この考えが合ってるかどうかもわかりませんが、解き方を教えてください。

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

ａ＝３ｍ±１　であれば　ａ^2＝９ｍ±６ｍ＋１＝３ｋ＋１　です。
かなり表現が簡単になります。

回答No.3

koko_u_u

>これを(a^2+b^2)^2-(ab)^2に代入すると4乗がでたりするので嫌です。

嫌がらずに計算すれば、余りだけに注目できるかどうかを知ることができます。

回答No.2

Rice-Etude

a^4+a^2b^2+b^4＝(a^2+b^2)^2-(ab)^2
ではなくて
a^4+a^2b^2+b^4＝(a^2-b^2)^2+3(ab)^2
としてみてください。

右辺の第2項は
3(ab)^2
なので、第1項の
(a^2-b^2)^2
が3の倍数であるなら全体も3の倍数となります。

あとは第1項で（便宜的にa>=bとした上で）
a^2-b^2 ---(a)
が3の倍数になるかを考えてみてください。（b>aの場合も同様なので省略）

ちなみに、(a)は因数分解できることがヒントです。

回答No.1

koko_u_u

>次数が大きすぎてどう処理したらうまくいくか分からなくなりました・・・

計算した結果を補足にどうぞ。

補足

（i）a^2+b^2=3(3m^2+2m+3n^2+2n）+2
ab=3(mn+m+n)+1
これを(a^2+b^2)^2-(ab)^2に代入すると4乗がでたりするので嫌です。

いま思ったんですけど余りだけ代入して2^2-1^2=3だから3で割り切れると言えますかね？