証明問題

質問

「どのような負でもない2つの整数ｍ、ｎを用いてもx=3m＋5nとはあらわすことのできない正の整数をすべて表せ」という問題なんですが、さっぱりです。誰かヒントでも良いので教えてください。

回答No.2

noname#107596 · ベストアンサー

まず１から９までを考えると、

３，５，６，８，９

が可能なのはすぐわかります。

次に１０から１９までを考えると、試行錯誤でいいのでやってみれば
全てx=3m＋5nで表せることがわかります。
(一の位が３，５，６，８，９のものはすぐわかる。後述の考えより)

－－－おそらくここからが重要－－－
ここで、５×２＝１０ということに注目すると、
２０以上の数はすべてx=3m＋5nで表せることがわかります。
なぜなら、１０から１９までの数字に１０をつぎつぎと足せば出てくるからです。

例：31＝１１＋１０＋１０＝（３×２＋５）＋（５×２）＋（５×２）＝３×２＋５×５
－－－－－－

なので答えは１，２，４，７。

回答No.5

mister_moonlight

mとnの値を絞れば、なんのことはない。

m＝n＝0は明らかに不適から、mとnは同時に0とならない。
m＝0の時、x＝5n　つまり、5の倍数。
n＝0の時、x＝3m　つまり、3の倍数。
m≧1、n≧1の時、3*（m-1）＋5*（n-1）＝x-8≧0　より、題意を満たすxは　x＜8　であるから　x＝1、2、3、4、5、6、7。
この値の中から　3と5の倍数を除外すると、x＝1、2、4、7。

回答No.4

noname#107596

＃２です。

＃１の回答を拝見して、より早く計算でき、他の係数の場合も使える方法があることに気づいたので。

x=3m＋5nということは、３つの続いた数字が全てx=3m＋5nであらわせれるなら、後はそれぞれ３を足していけば、その３つの数字以上の数は全て表せることになります。

x=3m＋5nで表せるものを小さいほうからあげると、
３,５,６(３×２),８(３＋５),９(３×３),１０(５×２),１１(３×２＋５)、…
となり、１２以降は９,１０,１１に必要な分だけ３を足すことで求められるので、
x=3m＋5nで表せることがわかります。

回答No.3

proto

事実として、
　　11 = 3*2+5*1
　　12 = 3*4+5*0
　　13 = 3*1+5*2
と表せるので、11,12,13は3*m+5*nの形に表せることになります。

さてxが
　　x = 3*m+5*n
と表せるとき
　　x+3 = 3*m+5*n+3 = 3*(m+1)+5*n
より、x+3もまた3*m+5*nの形に表せることが分かります。

先ほどの事実と合わせて、
11が3*m+5*nの形に表せるので、14,17,20,23,...も3*m+5*nの形に表せる。
12が3*m+5*nの形に表せるので、15,18,21,24,...も3*m+5*nの形に表せる。
13が3*m+5*nの形に表せるので、16,19,22,25,...も3*m+5*nの形に表せる。
よって11以上の整数は全て3*m+5*nの形に表せるようです。

ですから3*m+5*nの形に表すことが出来ない正の整数を探すなら10以下の数から探せば良いことになります。
たった10個の整数について調べれば良いだけなのでしらみつぶしでもいけるでしょう。

回答No.1

kiyokiyoma

ヒントのみ
まず、いくつか数字を作ってみることです。
例えば、（１）ｍ＝３、ｎ＝２ならｘ＝１９
　　　　（２）ｍ＝１、ｎ＝３ならｘ＝１８
次にｍを１増やすと、どうなるか。ｎを１増やすと、どうなるか、
考えてみます。
（１）ｍ＝４、ｎ＝２、ｘ＝２２（ｘは３増える）
　　　ｍ＝３、ｎ＝３、ｘ＝２４（ｘは５増える）
（２）ｍ＝２、ｎ＝３、ｘ＝２１（ｘは３増える）
　　　ｍ＝１、ｎ＝４、ｘ＝２３（ｘは５増える）
ある整数を表すことができれば、３足した数字、５足した数字はすべて表せるということになります。
ｘ＝３（ｍ＋１）＋５ｎ＝（３ｍ＋５ｎ）＋３
ｘ＝３ｍ＋５（ｎ＋１）＝（３ｍ＋５ｎ）＋５
ｍ、ｎは０以上の整数より、ｘを表すためのｍ、ｎの例として

ｘ　２０　２１　２２　２３　２４　２５　２６　２７　２８　２９　３０
ｍ　　０　　７　　４　　１　　８　　０　　２　　９　　１　　３　１０
ｎ　　４　　０　　２　　４　　０　　５　　４　　０　　５　　４　　０

ｘが２０以上であれば、上の表のようにすべて表すことができます。
したがって、ｍ、ｎを順に数字を当てはめて、２０以下の数字について
調べれば、答えは出ます。
あとは、証明問題の解答になるように体裁を整えてください。