文字式の証明

質問

こんにちわ
文字式の証明で教えてください。
問題にも？？？という感じなのですが...
1/(x-a)(x-b)=A/x-a＋Ｂ/x-bというものです。
どこからAとBが出てきたのかという質問もありますが
全く解法が見つかりません。
しかし、有名な公式なのかすらわかりません。

申し訳ございませんがよろしくお願いします。

回答No.6

178-tall

>どこからAとBが出てきたのか…

今さら、ですが…。

そもそもこの問題は、左辺式が与えられたき、これと同値な右辺の A, B を求めるための算式を書きなさい、という課題なんじゃありませんか？

回答No.5

178-tall

>しかし、有名な公式なのかすらわかりません。

　1/{ (x-a)(x-b) } = A/(x-a) + B/(x-b)　　…(1)
らしいですネ。
…ならば「部分分数分解」なのでしょう。

この分解勘定だけするということは、テスト以外にあまり無いでしょう。
有理関数の微積分には欠かせない模様。

先客さんのコメントのように、係数照合するのがオーソドックスな手法。

(1) の程度なら、たとえば分母の一項 (x-a) を「払って」
　1/(x-b) = A + B(x-a)/(x-b)
と変形し、x へ a を代入すると、
　1/(a-b) = A
なので、A が求められます。

…以下同文、といった感じ。

回答No.4

shuu_01

Yahoo! Answers の Best Answer はよくわかりませんでしたが、

Other Answers (1) の方が僕にはピンときました

1/(x-a)(x-b)　＝ A/x-a＋Ｂ/x-b

　　　　　　　　 ＝｛A（x-b）+B（x-a）｝/（x-a）（x-b）
　　　　　　　　 ＝｛（A+B）x - （Ab + Ba）｝/（x-a）（x-b）

この式が成り立つためには、係数を比較し、

(1) A+B ＝ 0
(2) Ab + Ba ＝ －1

でなくてはなりません

(1) から　B ＝ －A を (2) に代入すると

Ab － Aa ＝ －1

A ＝ 1/（a-b）
B ＝ －1/（a-b）

この A、B を問題文の式に代入すると

1/(x-a)(x-b)　＝ 1/（a-b）（x-a）－1/（a-b）（x-b）
　　　　　　　　 ＝ 1/（a-b）｛1/（x-a）－1/（x-b）｝

となります。ここまでは、フンフンと理解できるのですが、
最後に、したがって

1/(x-a)(x-b)　＝ A/x-a＋Ｂ/x-b

と締めくくってるのですが、ここが理解できませんでした

回答No.3

gohtraw

部分分数への分解ですね。
例えば
１／（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）　だったら
これが仮に
Ａ／（ｘ－ａ）＋Ｂ／（ｘ－ｂ）に分解されるとして、通分して
計算してやると
Ａ／（ｘ－ａ）＋Ｂ／（ｘ－ｂ）＝（Ａ（ｘ－ｂ）＋Ｂ（ｘ－ａ））／（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）
この分子は
ｘ（Ａ＋Ｂ）－Ａｂ－ａＢ
となり、
１／（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝（Ａ（ｘ－ｂ）＋Ｂ（ｘ－ａ））／（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）
なのだから
ｘ（Ａ＋Ｂ）－Ａｂ－ａＢ＝１
これはｘの値によらず成り立つので
Ａ＋Ｂ＝０
－Ａｂ－ａＢ＝１
これをＡ、Ｂに関する連立方程式として解くと
Ａ＝１／（ａ－ｂ）、Ｂ＝１／（ｂ－ａ）
となって部分分数に分解出来ます。

これをやって何の得があるかというと、式の次数が下がって（このばあいだと
元の式はｘのマイナス二乗ですが部分分数にするとマイナス一乗になります。
これを次数が「下がる」といっていいのかよく判りませんが）計算が楽になる
（ケースがある）ということでしょうか。

回答No.2

shuu_01

まったく同じ質問が Yahoo! Answers にありました

What is the integrations of 1/(x-a)(x-b)?????
http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20080830133750AAQeGJC

ちょっと読んでよくわかりませんでした
（これから水泳に行って、帰ってから考えます）

回答No.1

noname#208225

名前だけ知ってます。おそらく『部分分数分解』というものだと思います。
『部分分数』で検索すると出てくると思います。