証明が出来ません・・・

質問

任意のベクトルに対して成り立つ公式
Ａ×（Ｂ×Ｃ）＝Ｂ（Ａ・Ｃ）－Ｃ（Ａ・Ｂ）
を証明したいのですが
まったくというほど手がつかない状況です。

よかったら、この証明方法を知っている方がいたら
教えてください。
後、この公式には名前はついてないんですか？

回答No.3

aster · ベストアンサー

ヴェクトル積を、行列式で表現する方法は知っておられるでしょうか？
知っておられない場合は、いま覚えておくと便利です。

ＢＸＣというヴェクトル積は、Ｂ＝（b1, b2, b3）、Ｂ＝（c1, c2. c3）とすると、行列式で、次のように書けます。行列式の左右の縦線は省きます。

　b1 b2 b3
　c1 c2 c3
　 ｉ　 ｊ 　ｋ

ここで、ｉ，ｊ，ｋというのは、空間の直行単位ヴェクトルです。これはヴェクトルになり、つまりＢＸＣ＝(b1c2-b2c1)ｋ＋(b3c1-b1c3)ｊ＋(b2c3-b3c2)ｉ　となります。

これに更に、Ａをヴェクトル積でかけるので、式は、

　　　　　a1　　　　　　a2　　　　　　a3
　(b2c3-b3c2) (b3c1-b1c3) (b1c2-b2c1)
　　　　　ｉ　　　　　　　ｊ　　　　　　　ｋ

となります。

ところで、答えの方は、Ｂ（Ａ・Ｃ）－Ｃ（Ａ・Ｂ）で、これはヴェクトルになっています。Ｂ＝（b1, b2, b3）で、Ｃ＝（c1, c2, c3）とすると、

Ｂ（Ａ・Ｃ）－Ｃ（Ａ・Ｂ）＝（Ａ・Ｃ）Ｂ－（Ａ・Ｂ）Ｃ
＝(a1c1+a2c2+a3c3)*(b1,b2,b3)－(a1b1+a2b2+a3b3)*(c1,c2,c3)

ということになります。ヴェクトル基底は、ｉ，ｊ，ｋです。

ところでの上の行列式は、ヴェクトルを表していて、それぞれは成分でみると：

ｉ成分：a2(b1c2-b2c1)－a3(b3c1-b1c3)
ｊ成分：a3(b2c3-b3c2)－a1(b1c2-b2c1)
ｋ成分：a1(b3c1-b1c3)－a2(b2c3-b3c2)

このようになります。ところで、これはヴェクトルの成分です。そこでよく成分を見ると：

ｉ成分：a2(b1c2)-a2(b2c1)－a3(b3c1)+a3(b1c3)
ｊ成分：a3(b2c3)-a3(b3c2)－a1(b1c2)+a1(b2c1)
ｋ成分：a1(b3c1)-a1(b1c3)－a2(b2c3)+a2(b3c2)

このように書けるのであり、更に、要素の順序を入れ替えて整理すると：

ｉ成分：a2(b1c2)+a3(b1c3)-a2(b2c1)－a3(b3c1)
ｊ成分：a3(b2c3)+a1(b2c1)-a3(b3c2)－a1(b1c2)
ｋ成分：a1(b3c1)+a2(b3c2)-a1(b1c3)－a2(b2c3)

これを変形して、相殺する成分を入れます：

ｉ成分：(a2c2)b1+(a3c3)b1+a1b1c1-(a2b2)c1-(a3b3)c1-a1b1c1
ｊ成分：(a3c3)b2+(a1c1)b2+a2b2c2-(a3b3)c2-(a1b1)c2-a2b2c2
ｋ成分：(a1c1)b3+(a2c2)b3+a3b3c3-(a1b1)c3-(a2b2)c3-a3b3c3

これは、成分を比較すると、一目瞭然で、

Ｂ（Ａ・Ｃ）－Ｃ（Ａ・Ｂ）＝（Ａ・Ｃ）Ｂ－（Ａ・Ｂ）Ｃ
＝(a1c1+a2c2+a3c3)*(b1,b2,b3)－(a1b1+a2b2+a3b3)*(c1,c2,c3)

と同じだと分かります。(a2c2)b1+(a3c3)b1+a1b1c1 などは、(a1c1)b1+(a2c2)b1+(a3c3)b1 と、文字の順序が違うだけで同じですから、結局、

ＡＸ（ＢＸＣ）＝（Ａ・Ｃ）Ｂ－（Ａ・Ｂ）Ｃ＝Ｂ（Ａ・Ｃ）－Ｃ（Ａ・Ｂ）

となって、証明できたことになります。

結局、成分を比較するということで、ヴェクトル三重積の計算で、ヴェクトルの成分計算ができるということは、行列式表現での計算に対応しているのです。

行列式を使わないでも、ヴェクトル三重積のヴェクトルを、二つのヴェクトルに分けることができ、それが、ＢとＣのヴェクトルで、その成分は、証明する式のようになるということです。

回答No.2

nikorin

これはベクトル三重積といわれるものですね。
ちなみにスカラー三重積はＡ・（Ｂ×Ｃ）です。
力学や電磁気学でよく顔を出しますね。

等式の証明方法はranxさんの言われているとおりです。
成分計算すればいいです。

回答No.1

ranx

物理学というより数学の問題のように思いますが．．．。
座標成分に分解したらよいのではないですか？
A=(xa,ya,za), B=(xb,yb,zb), C=(xc,yc,zc) とすると
A×（B×C)のx成分はya(xb*yc-yb*xc)-za(zb*xc-xb*zc)
B・（A・C）- C・（A・B）のx成分はxb(xa・xc+ya・yc+za・zc)-xc(xa・xb+ya・yb+za・zb)
で、これらが等しいことはすぐ分かります。
y成分・z成分についても同様に比較すればよいと思います。
名前は知りません。