証明

質問

すいません。
わからない問題があって、どのようにとくかわかりません。
(1)
｛1/(x＋1)(x＋2)｝＋｛1/(x＋2)(x＋3)｝＋｛1/(x＋3)(x＋4)｝の計算はどのように求めるのでしょうか？

(2)
a＋b＋c=3,（1/a)＋(1/b)＋(1/c)=1/3ならば　a=3または
b=3またはc=3であることを証明するにはどのように求めるにはどのような方法があるのですか？
親切におしえてください

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

#1さんへの補足について、
a=3またはb=3またはc=3であることを式で表すと
(a-3)(b-3)(c-3)=0となります。
別の言い方をすれば、
「a=3またはb=3またはc=3」⇔(a-3)(b-3)(c-3)=0
となるのです。

例えば、xyz=0は「x=0 or y=0 or z=0」と同値です。
A=a-3,B=b-3,C=c-3とおけば同じように考えられます。

ということなので、(2)は
a＋b＋c=3,（1/a)＋(1/b)＋(1/c)=1/3
⇒(a-3)(b-3)(c-3)=0
を示せという問題なのです。

補足

ありがとうございます。
やっと、理解することができました

回答No.1

fushigichan

hai533さん、こんにちは。

＞(1)
｛1/(x＋1)(x＋2)｝＋｛1/(x＋2)(x＋3)｝＋｛1/(x＋3)(x＋4)｝の計算はどのように求めるのでしょうか？

これは、ちょっとしたコツがあるのです。

1/(x+1)(x+2)=1/(x+1) -1/(x+2)と変形できるのです。
ですから、
1/(x+1)(x+2) +1/(x+2)(x+3) +1/(x+3)(x+4)
=1/(x+1)-1/(x+2)+1/(x+2)-1/(x+3)+1/(x+3)-1/(x-4)
=1/(x+1)-1/(x+4)
=3/(x+1)(x+4)・・・（答え）

＞(2)
a＋b＋c=3,（1/a)＋(1/b)＋(1/c)=1/3ならば　a=3または
b=3またはc=3であることを証明するにはどのように求めるにはどのような方法があるのですか？

a=3またはb=3またはc=3であることを証明するには、
(a-3)(b-3)(c-3)=0
が成り立つことが言えれば良いですね。

この式を展開しましょう。
(a-3)(b-3)(c-3)=abc-3ab-3ac+9a-3bc+9b+9c-27
=abc-3(ab+bc+ca)+9(a+b+c)-27・・・（★）

さて、ここで
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc=1/3ですから、
3(ab+bc+ca)=abc・・・（あ）
また、
a+b+c=3・・・（い）ですから
（あ）（い）を、（★）に代入すれば、この式は０になることが分かります。

したがって、
(a-3)(b-3(c-3)=0
がいえましたので、a=3またはb=3またはc=3が成立します。

補足

ありがとうございます。
(2)
で聞きたいのですが、
＞この式を展開しましょう。
(a-3)(b-3)(c-3)=abc-3ab-3ac+9a-3bc+9b+9c-27
=abc-3(ab+bc+ca)+9(a+b+c)-27・・・（★）

はどこからでてきたのですか？