平均値の定理を使った証明問題

質問

次の問題の証明を教えてください。
(a,b)で微分可能のとき次の関係を満たすｃが存在することを証明する問題です

1.(c-a)(b-c)f'(c)=(2c-a-b)f(c)

2.f(b)-f(a)=cf'(c)(logb-loga)

解法がまったく思いつきません。
ヒントでも良いのでよろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

すみません, #1 は勘違いしてます. 2 はそれでもいいんだけど.
というわけで落ち穂拾い:
1: f(x)(x-a)(x-b).
2: f(x) と g(x) = log x に対して平均値の定理
∃c [f(a) - f(b)]/[g(a) - g(b)] = f'(c)/g'(c)
という方針もある.

お礼

うまくいきました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

hanabutako

1はちょっと考えてみたのですが、自分も思いつかないですね。

2はf(x)が(a,b)で微分可能であるので、g(x)=f(e^x)は(log a, log b)で微分可能である。
([a,b]で連続というのは仮定していいんですよね？)
g'(x) = e^x f(e^x)
よって、平均値の定理より、....
で解けます。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

どちらも「平均値の定理」そのまま, ですな.
「平均値の定理」で何が思い浮かぶかが問題だけど.