解析学について

質問

∫C (xy^2)dy －(x^2y)dx,
Cは原点を中心とする半径aの円

この線積分の求め方を教えてください 
ガウスグリーンの定理を使うらしいのですが

回答No.2

info22_

No.1です。

ANo.1はガウスグリーンの定理を使わない方の解答ですが、

ANo.1の別解

>ガウスグリーンの定理を使うらしいのですが

使ってやりたければ、以下のようにすればOKです。

I=∫C (xy^2)dy－(x^2y)dx, C={(x,y)|x^2+y^2=a^2(a>0)}
ガウスグリーンの定理より
I=∫∫[D] (y^2+x^2)dxdy, DC={(x,y)|x^2+y^2≦a^2(a>0)}
=4∫[0,a]dx∫[0,√(a^2-x^2)](x^2+y^2)dy
=4∫[0,a]{[x^2y+(1/3)y^3][0,√(a^2-x^2)]}dx
=4∫[0,a]{x^2+(1/3)(a^2-x^2)}√(a^2-x^2)dx
= ...（途中計算省略。t=a sin(x)で置換積分。）
=[(1/3)(2x^3 +xa^2)√(a^2-x^2)+(a^4)sin^-1(x/a)][0,a]
=(a^4)sin^-1(1)
=(1/2)πa^4

ANo.1の結果に一致しました。

回答No.1

info22_

I=∫C (xy^2)dy －(x^2y)dx, C={(x,y);x^2 +y^2=a^2(a>0)}
x=acos(t), y=asin(t) とおいて置換積分
　C ⇒ t:-π→π
I=(a^4)∫[-π,π] 2cos^2(t)sin^2(t) dt
=(a^4)∫[-π,π] (1/2)sin^2(2t) dt
=(a^4)∫[-π,π] (1/4)(1-cos(4t)) dt
=(1/2)(a^4)∫[0,π] (1-cos(4t)) dt
=(1/2)(a^4)∫[0,π] 1 dt
=(1/2)πa^4