積分に詳しい方よろしくお願いします。

質問

積分に詳しい方よろしくお願いします。

ベクトル関数をｆ=ｘ＾３ ｘ＾+ｘ＾２ｙ ｙ＾ とする。ｘ＾、 ｙ＾ はそれぞれｘ、ｙ方向の単位ベクトルである。次の積分を求めよ。

(分りにくくて申し訳ないのですが ｘ＾３ 、 ｘ＾２ｙ の ＾ はそれぞれ三乗、二乗を表しています。)

(a) ∫ｃ ｆ・ｎ ｄｓ

ただしｃは原点を中心とする半径aの円である。ｎは円周上での法線ベクトルであり(すなわちｎ=cosθｘ＾+sinθｙ＾)、ｄｓは円周上の微小線分すなわちｄｓ=adθである。

(ｂ) ∬ｓ ∇ ・ ｆ ｄｘｄｙ

ただしｓは原点を中心とする半径aの円の内部である。

(a)線積分、(ｂ) 面積分 が等しいことがガウスの定理の2次元版である。

という問題です。

お時間ある方よろしくお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

f(x,y)=(x^3,2y).

(a)
f・n=a^3cos^4(θ)+2asin^2(θ).
ds=adθ
を代入。
あとは普通の積分。

int[C]f・nds
=int[0,2π]a^3cos^4(θ)+2asin^2(θ)adθ
=int[0,2π]a^4cos^4(θ)+2a^2ins^2(θ)dθ
=3/4×a^4π+2a^2π.

(b)
∇・f=3x^2+2.
を代入後、x=rcos(θ),y=rsin(θ)で変数変換。
あとは普通の積分。

iint[S]∇・fdxdy
=iint[S]3x^2+2dxdy
=int[θ:0,2π]int[r:0,a]3r^3cos^2(θ)+2rdrdθ
=int[θ:0,2π]3/4×a^3cos^2(θ)+a^2dθ
=3/4×a^3π+2a^2π.

お礼

先ほど教えていただいた解き方でしてみたところ何とかできました。

今回は分かりにくい書き方で申し訳ございませんでした。

補足

x^3 x^+　x^2y y^

がなぜ　f(x,y)=(x^3,2y)　となるのか教えていただけませんか？