方程式

質問

○自然数Nの十位、一位をそれぞれa,bとする。このとき(N＾2)の十位,一位とNの十位、一の位が一致するものを求める。
(Nは２けたとします）

NとN^2の下２桁が一致することが条件はわかるのですが。
Nをどのように定めるのかわかりません。

しかし、はっきりいうと全然わかりません。
基礎がまったくわからないです。
いろいろと解き方を調べたのですが参考にするのが少ないため。
初心者に教える方法で教えてもらたら嬉しいです。
お願いします

回答No.3

naozou · ベストアンサー

No.2です。補足しますね。

> (1)二乗したら1の位に同じものがあわられる0～9の整数を選ぶと、b = 0,5,6 のいずれかとなります。
> なぜ、二乗したら1の位に同じものがあわられるものを探すのですか？

二乗したときの1の位は元の数の1の位で決まるからですが・・・すいません！ b = 1 が抜けてました。失礼しました。
1の場合ですが、N^2 = 100a^2 + 20a + 1となります。
20a + 1 ですが、大きくても200未満なので、
20a + 1 - 100 = 10a + 1
20a + 1 = 10a + 1
を解いてみます。すると、a = 10, 0 なのでどちらもダメです。

> (2)b = 0のとき・・・当然ながらダメです
> これは、整数ではないから駄目なんですか？

0も整数です。b=0 だとするとNは10, 20, 30,...,90 のいずれかですから、二乗すると下二桁は00になりますので、だめですね。

> (3)200を超えてるとき・・・200を引けば10の位、1の位がでるので、20a + 36 - 200 = 10a + 6 を解くと a = 17 だめですね、a の範囲を超えてます。
> a=17はどこから現れたのですか？

普通に、20a + 36 - 200 = 10a + 6 を解いただけです。
10a = 170 なので、a = 17 です。

補足

前の問題の説明で、
>100を超えていないとき
20a + 36 = 10a + 6 を解くと a = -3 ダメ

がよくわかりません。
計算はわかるのですが、100を超えないないときの式の作り方がわかりません。
どうして、100を超えていないときも計算するのでしょうか？
もしよろしければ意味をおしえてもらってもいいですか？

回答No.5

naozou

> 下二桁がNになっているかどうかとはどんなことですか？

問題によると、二乗したものの十位,一位と元の数字の十位、一の位が一致するものを求める、ということなので、下二桁がNになっていれば、問題の答えになりますし、Nになっていなければ答えではない、それを確かめるということです。

回答No.4

naozou

> どうして、100を超えていないときも計算するのでしょうか？

N^2 = 100a^2 + 120a + 36
= 100(a^2 + a) + 20a + 36

100を超えていない場合は 20a + 36 が下二桁の数字になるからです。たとえば、
N^2 = 200 + 20*1 + 36 = 256 (a=1 のとき)
N^2 = 600 + 20*2 + 36 = 676 (a=2 のとき)
みたいな具合です。
この下二桁がNになっているかどうか確認するためです。

補足

なんどもすいません。
下二桁がNになっているかどうかとはどんなことですか？

回答No.2

naozou

それほどエレガントではなく泥臭い方法ですが、その分理解はしやすいかも。

定石どおり（？）N = 10a+b (aは1から9まで、bは0から9までの整数)とします。
N^2 = 100a^2 + 20ab + b^2
ですが、N^2の1の位はb^2で決まってしまいます。
(それ以外の項はすべて100か10の位)
なので、二乗したら1の位に同じものがあわられる0～9の整数を選ぶと、b = 0,5,6 のいずれかとなります。

ここから場合分け；
b = 0のとき・・・当然ながらダメです

b = 5のとき・・・N = 10a + 5 という数字(15とか25とか)になっていて、
N^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100(a^2+a)+25
なので、ちょうど10の位と1の位の部分は25です。なので、a = 2 つまり N = 25 は一つ答えとなります。

b = 6のとき・・・N = 10a + 6 という数字です。
N^2 = 100a^2 + 120a + 36
= 100(a^2 + a) + 20a + 36
とできますが、20a + 36 の部分がよく分かりません
(もしかしたら100を超えているかもしれないので)。
ですが、20a + 36 は大きくても200ちょっと。さらに場合わけします。

200を超えてるとき・・・200を引けば10の位、1の位がでるので、20a + 36 - 200 = 10a + 6 を解くと a = 17 だめですね、a の範囲を超えてます。

100を超えて、200を超えていないとき・・・100を引きます。
20a + 36 - 100 = 10a + 6 を解くと a = 7
ということで N = 76 となります。

100を超えていないとき
20a + 36 = 10a + 6 を解くと a = -3 ダメ

ということで、N=25, 76となります。

補足

流れでは理解できました。
しかし、部分的にわからないのがある為教えてください。
(1)二乗したら1の位に同じものがあわられる0～9の整数を選ぶと、b = 0,5,6 のいずれかとなります。

なぜ、二乗したら1の位に同じものがあわられるものを探すのですか？

(2)b = 0のとき・・・当然ながらダメです

これは、整数ではないから駄目なんですか？

(3)
200を超えてるとき・・・200を引けば10の位、1の位がでるので、20a + 36 - 200 = 10a + 6 を解くと a = 17 だめですね、a の範囲を超えてます。

a=17はどこから現れたのですか？

回答No.1

LLcK

Nと(N^2)の下２桁が一致することが条件であるということは、
(N^2)を100で割った時の余り（剰余）とNが等しくなるということです。
そして、商と余りの関係から
(N^2)-Nは必ず100で割り切れます。

式で表すと
(N^2)-N＝100C
となります。
よって
N×(N-1)＝100C
ですので、連続する２数の積が100の倍数になっているものを探せばいいのです。

答えは
N＝25，76
となります。