modを使った問題

質問

みなさん、こんにちわ。
modについて参考書などを見たのですが、よくわかりません。
ですから、次の問題がどのように解けばいいのかわかりません。
分かる方がいましたら親切に教えてください。

(1)
7＾(n＋1)＋8＾(2n-1)は57で割り切れることを証明するには？

(2)
3＾36を23で割った余りを求めるには？

(3)
2桁の自然数でその２乗した数の下の２桁がもとの２桁の自然数に一致するものがある。このような２桁の自然数を求めるには？

お願いします

回答No.1

eatern27

とりあえず、ヒントだけ
(1)
n=1の時
7^(1+1)+8^(2-1)=49+8=57≡0 (mod 57)

n=kの時
7^(k+1)+8^(2n-1)≡0 (mod 57)
が成り立つと仮定して、
7^(k+2)+8^(2n+1)≡0 (mod 57)
が成り立つことを示せばよい。

(2)
3^n (n=1,2,3,・・・)を23で割った余りを順に並べると、
3,9,4,12,13,16,2,・・・
そのうち規則性が見つかります。

もしくは、
3^36={(3^3)^4}^3
3^3≡4 (mod 23)
(3^3)^4≡4^4≡3 (mod 23)
とやっていく。

(3)
10の位をa,1の位をbとすると、
(10a+b)^2-(10a+b)が100の倍数になればよい。すなわち、
(10a+b)^2-(10a+b)=(10a+b)(10a+b-1)
が100の倍数になればよい。
ヒント
10a+bと10a+b-1は連続する２つの整数です。したがって、一方が5の倍数の時は他方は5の倍数ではなく、また、一方が偶数の時は他方は奇数となります。

分からない点があれば補足へ。

※こういう質問をする時は、自分がどう解こうとして、どこで分からなくなったのかを一緒に書きましょう。