数学の問題

質問

一の位が５の二桁の自然数の２条は下２桁が２５で１００の位以上の数とそれより１大きい数との積になる。　　というもんだいで、

証明すると、

（１０n＋５）²
＝１００ｎ²＋１００n＋２５
＝１００n（ｎ＋１）＋２５

になるらしいのですが、何故ですか？
わかりやすくお願いします

回答No.2

birth11

一の位が5の二桁の自然数を ◻5 とすると、
n を10より小さい自然数を 1 ≦ n ≦ 9 として、
◻5 = 10 n + 5 ……………(1)
と表せる。
二桁の自然数 ◻5 の2乗を計算すると(1)より
( ◻5 )^2 = ( 10 n + 5 )^2 = 100 n^2 + 100 n + 25 = 100 ( n^2 + n ) + 25
= 100 n ( n +1 ) + 25

ここで、一例として、n = 9 とすると
最初の二桁の数は
95 = 10 * 9 + 5
この2乗は
95^2 = ( 10 * 9 + 5 )^2 = ( 10 * 9 )^2 + 100 * 9 + 25
= 100 ( 9 * 9 + 9 ) + 25
= 100 * 9 * 10 + 25 ……………( 題意通りになっている)
= 9025

(証明終わり)

回答No.1

asuncion

新たに質問を立てるのではなく、前の質問への補足にする方がいいような気がします。

さて、そもそも、一の位が5であるような2桁の整数が、一般に10a + 5と書けることは
理解されているのでしょうか。

理解されているとして、
(10a + 5)^2を普通に展開すれば、
100a^2 + 100a + 25
= 100a(a + 1) + 25
になりますね。

ここで、100a(a + 1)の部分が100の倍数であることはおわかりでしょうか。
なぜなら、100 × 「何とか」の形をしているからです。

というわけで、100a(a + 1)の下2桁は0ですね。ということは、
100a(a + 1) + 25の下2桁として残るのは25の部分だけです。

百の位以上である100a(a + 1)は、上述のとおり
100 × 「何とか」の形をしています。その「何とか」の部分が
a(a + 1)です。これは、元の数の十の位であるaに、
それに1を加えた値であるa + 1をかけたものですね。

証明終わり。