数iii極限

質問

次の極限値を求めよ。ただしn自然数、a＞0

lim[x→∞](１/n)log(a^n+a^2n)

です。

自分の回答は、(１/n)log(a^n+a^2n)＝(１/n)log(a^n(1+a^2))=loga+log(1+a^2)

より、lim（loga+log(１+a^2)^(1/n)）=loga

とやりましたが、

回答は0＜a≦１とa＞1で場合分けして、はさみうちして、答えはそれぞれloga、log2aです。

自分の回答のどこが間違っているのか、ご指摘をお願いします。

回答No.4

naniwacchi

まず、x→∞ではなく、n→∞ですよね。

＞(１/n)log(a^n+a^2n)＝(１/n)log(a^n(1+a^2))=loga+log(1+a^2)
ん？a^nをくくり出したのでしょうが、a^(2n)＝ a^n* a^2ですか？？？

で、考える肝の部分については2012年の京都大学理系の第1問が、参考になります。
というよりも、ほぼそのままです。

指数関数なので、場合わけはその時点で考えておくべきですね。
結果的には、a^nと a^(2n)でどっちの項が「強い」のかを考えていることになります。

回答No.3

info22_

>自分の回答のどこが間違っているのか、ご指摘をお願いします。

>lim[x→∞](１/n)log(a^n+a^2n) ←間違い
正：lim[n→∞](１/n)log(a^n+a^(2n))

>(１/n)log(a^n+a^(2n))
>＝(１/n)log(a^n(1+a^2)) ←間違い
a^(2n)=a^(n*2)=(a^n)^2=(a^n)*(a^n)であるから
正：=(1/n)log(a^n(1+a^n))

>=loga+log(1+a^2) 　　　　←間違い
正：=log(a)+(1/n)log(1+a^n)

>より、
>lim（loga+log(１+a^2)^(1/n)）　←間違い
正：lim[n→∞]（log(a)+log((１+a^n)^(1/n))）

ここから場合分けが必要になるかと…。

>=log(a) 　←場合分けにより解が異なってくる。
正：=log(a)+lim [n→∞]log((１+a^n)^(1/n))

0<a≦1のとき
=log(a)+log(1)=log(a)
a>1のとき
=log(a)+log(a)=2log(a)=log(a^2)
となるかと…。

>回答は
解答のように
>0＜a≦１とa＞1で場合分けして、はさみうちして、答えはそれぞれ
>log(a)、log(2a)です。　←間違い
正：log(a), 2log(a) です。

[確認] a=1/2,a=3などとして検算してみて下さい。

回答No.2

tekcycle

解答解説が無かったり不十分な教材は、独学に於いて使ってはいけません。
略解でないのなら、解答の時点で、場合分けする理由が書かれなければなりません。
あなたが場合分けしたって、何の理由も書かなければペケか減点って事です。
また、その略解が正しいと仮定して、例えばａに適当な数値、0.5とか2とか、入れてみるとどうなるのか計算してみましたか？
また、logのような抽象度の高い物は、ただ丸暗記するのでは無く、具体例を用いて正しく運用できているか、きちんと確認すべきです。
ａ＝２、ｎ＝ｅ、等、実際に代入してみましょう。公式も確認してください。
実際に代入するなどし、また公式も確認することで、公式が身に付くんです。
一目見て正確に丸暗記できるような人ならこの限りでは無いんでしょうが。
これだけでは不親切かもしれませんので、
　ｘ＝log(ｅ^ｘ)
だと付け加えておきます。ｘ＝１／ｎの場合どうなるのか。
少なくとも私程度の脳味噌では、log上で考えるとわけが判らなくなります。
ｅ^ｘ＝ｙのような形に戻して考えることが多いです。
基本、干し椎茸は水で戻して食べるものです。

どこが間違っているかって、取り組み方全体がまず間違っているのです。
その問題の解答解説だけすれば解決するのではありません。全体を直さないと、数学ができるようにはなりません。

回答No.1

Tacosan

とりあえず
(１/n)log(a^n+a^2n)＝(１/n)log(a^n(1+a^2))=loga+log(1+a^2)
のところを詳しく説明してください.