数IIIの定積分の範囲の問題です。

質問

数IIIの定積分の範囲の問題です。

nを自然数とするとき、1からnまでの自然数の積をn!で表す。
n≧2のとき log n!＞n log n-n+1
が成り立つことを示せ。

という証明問題なのですが
答えを見てもよくわからないので
わかる方いたらお願いします。

ちなみに答えはこうでした↓

∫ (k→k+1)log(k+1)dx＞∫(k→k+1)logx dx
この式に、n≧2としてk=1,2,・・・,n-1を代入して、辺々を加えて証明する。

回答No.2

noname#121794

こういうときはどこがどう分からんかしっかり書かんといけない。
これはようするにlogxは各区間[k,k＋1]において単調増加(=はなく常に増加)でかつ
x=k＋1のときMaxをとるから積分の性質より

∫ (k→k+1)log(k+1)dx＞∫(k→k+1)logx dx　が成り立つ
ことを用いて
n≧2のとき log n!＞n log n-n+1　を示せばよろしい。

回答No.1

naniwacchi

おはようございます。
定積分と不等式でよく出される問題（例題）ですね。

面積を用いて、大小関係を考えることになります。
∫ (k→k+1)log(k+1)dx＞∫(k→k+1)logx dx

まず、左辺は xを含んでいないので、log(k+1)は定数扱いですね。

積分区間はともに、k→ k+1で同じです。
y＝ log(x)のグラフを考えると、単調増加（右上がり）となっています。
つまり、log(k)＜ log(k+1)となっています。
もう少し言い換えれば、k＜ x＜ k+1において log(x)＜ log(k+1)だということです。

そして、幅が 1である長方形の面積と log(x)によってできる面積を比較すると
（高さ：log(k+1)×幅：1の長方形）＞ ∫[k→k+1] log(x) dx

であることが示されます。

あとは、
log(n！)＝ log(1* 2* 3*・・・* n)＝ log(1)+ log(2)+・・・+ log(n)

を用いれば、不等式を証明することができます。

一度、グラフを描いて考えてみてください。