至急回答頂きたいです！

質問

3次方程式x^3+mx^2+2nx+2=0は相異なる3つの実数解α-β、α、α+βをもつとする。ただし、ｍ、ｎは実数、β＞0である。
（1） mをαのみを用いて表せ。
（2） nをｍのみを用いて表せ。
（3） ｍ、ｎが整数の場合に、次の問に答えよ。
（i）ｍは3の倍数であることを示せ。
（ii）m、ｎ、α、βを求めよ。

解答がないので、本当に困ってます！
どなたか解説解答をよろしくお願いいたします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞x^3+mx^2+2nx+2={x-(α-β)}(x-α){x-(α+β)}
=x^3-3αx^2+(3α^2-β^2)x-α(α^2-β^2)
（1） mをαのみを用いて表せ。
＞x^2の係数を比較してm=-3α・・・答
（2） nをｍのみを用いて表せ。
＞定数項比較2=-α(α^2-β^2)よりβ^2=2/α+α^2=-6/m+m^2/9
xの係数を比較して2n=3α^2-β^2=2m^2/9+6/m
n=m^2/9+3/m・・・答
（3） ｍ、ｎが整数の場合に、次の問に答えよ。
（i）ｍは3の倍数であることを示せ。
n=m^2/9+3/m=(m^3+27)/9mから9mn=m^3+27
kを整数としてm=3k+1とすると
9mn=m^3+27=(3k+1)^3+27=27k^3+27k^2+9k+28
すなわち9mn=27k^3+27k^2+9k+28
左辺は3の倍数だが右辺は3*(9k^3+9k^2+3k+9)+1
となり3の倍数とはならない。
又、m=3k+2とすると
9mn=27k^3+54k^2+36k+35となり、やはり右辺は
3の倍数とはならない。
以上からm≠3k+1かつm≠3k+2なので
m=3k+3=3*(k+1)(証明終わり)
（ii）m、ｎ、α、βを求めよ。
kを整数としてm=-3kとおくと、
n=m^2/9+3/m=k^2-1/k、これが整数となるのはk=1のとき。
よって、m=-3、n=0、α=-m/3=1、β^2=-6/m+m^2/9=3
m=-3、n=0、α=-m/3=1、β=√3・・・答

お礼

うまく解答を作れず、悩んでいたので本当に助かりました。他に回答してくださった方もありがとうございました。最後まで解答解説してくださったyyssaaさんをベストアンサーとさせていただきます。本当にありがとうございました。

回答No.2

info22_

>解答がないので、本当に困ってます！
解答がなければご自分で作成すればいいのでは？
回答者も解答なしで解答を作るわけですからね。

(1)
　x^3+mx^2+2nx+2
　=(x-α+β)(x-α)(x-α-β)=x^3-3αx^2+(3α^2-β^2)x+α(β^2-α^2) ...(a)
解と係数の関係から
　m=-3α ...(b)　...(答え)

(2)
解と係数の関係から
2n=3α^2-β^2 ...(c)
2=α(β^2-α^2) ...(d)

(d),(b)から
β^2=α^2 +2/α=m^2/9 -3/m ...(e)
(b),(c),(e)より
n=(3/2)(-m/3)^2 -m^2/18 +(3/2)/m
=(1/9)m^2+(3/(2m)) ...(f) ...(答え)

(3)(i)
(f)より
18nm=2m^3 +27　...(g)
2m^3=9(2nm-3)
m,nは整数なので、右辺の(2nm-3)は整数である。
9(2nm-3)は0とすると、m=0となり、2nm-3=-3≠0となって矛盾。
したがって(2nm-3)とmは0ではない整数。
右辺の9(2nm-3)は9の倍数。したがって左辺の2m^2も9の倍数、2と9は互いに素であるから
m^2が9=3^2の倍数。∴mは3の倍数

(3)
(ii)
？？？

回答No.1

hashioogi

解がa、b、cである3次式は
(x-a)(x-b)(x-c)=0
ということです。