ベクトル解析の問題で分からないところがあります

質問

質問させていただきます

次の曲線について下の問いに答えよ

↑r=ucosu↑i＋usinu↑j＋(2√2u^3/2)/3↑k
（0≦u≦2π）

（１）媒介変数を消去してこの曲線をF(x,y,z)=0　(xyzの関係式）の形で書け
（２）コレはどんな曲線か
（３）この曲線の長さsは？

この問題なのですが曲線の長さしか分かりません・・・

s(u)=∫[0→2π]√{(-usinu)^2＋(ucosu)^2＋2u}du
=∫[0→2π]√(u^2＋2u)du

これもあってるかどうか・・・

（４）電磁気学によれば原点Ｏに伝がＱがあるとき、点Ｐ（x,y,z)における電場↑Eと
静電ポテンシャルφは次のように与えられる

↑E=Q↑r/(4πεr^3) φ=Ｑ/(4πεr)　　　　（εは真空の誘電率）

ここで ↑r=x↑i＋y↑j＋z↑k　　　（点Pの位置ベクトル）
r=√(x^2＋y^2＋z^2)

点Ｐにある電荷q(質量をmとする）に働く力はqEである。
電荷の速度を↑v（=d↑r/dt)とするとき、↑L=↑r×↑v（原点の周りの角運動量）は
不変であることを示せ

この問題もさっぱり分かりません・・・

詳しい方詳しい解説お願いします！

回答No.2

rnakamra

(4)だけ。
↑Lが不変⇔↑Lの時間微分が↑0 ですのでd↑L/dt=↑0を示せばよい。

d↑L/dt=d/dt(↑r×↑v)=(d↑r/dt)×↑v+↑r×(d↑v/dt)
ここで第1項と第2項を計算すると
第1項：(d↑r/dt)=↑vを代入する。
第2項：(d↑v/dt)は加速度ベクトル↑a,運動方程式からm↑a=↑F=q↑E
これを代入する。

任意のベクトル↑xに対して↑x×↑x=↑0であることを使う。

回答No.1

info22

>↑r=ucosu↑i＋usinu↑j＋(2√2u^3/2)/3↑k
uの指数部の書き方が明確でありませんが次式で合っていますか？
↑r=ucosu↑i＋usinu↑j＋(2√2u^(3/2))/3↑k

そうなら
(1)
x=u*cos(u),y=u*sin(u)…(A)
z=(1/3)(2u)^(3/2)…(B)
(A)から
x^2+y^2=u^2…(C)
(B)から
2u=(3z)^(2/3)
u^2=(1/4)(3z)^(4/3)
(C)に代入
4(x^2+y^2)=(3z)^(4/3)
x,y,zだけの式になりましたね。

(2)
原点から反時計回りに螺旋を描きながら半径がz座標と共に増加していく渦巻き螺旋曲線（スパイラル曲線）

(3)
s(u)=∫[0→2π]√{(-usinu)^2＋(ucosu)^2＋2u}du
=∫[0→2π]√(u^2＋2u)du
どのような計算をして導出しましたか？
式が間違いです。

x'=(u*cos(u))'=cos(u)-u*sin(u)
y'=(u*sin(u))'=sin(u)+u*cos(u)
z'={(2√2)u^(3/2)/3}'=(2u)^(1/2)
を次式に代入して整理すると
s(u)=∫[0,π]{(x')^2+(y')^2+(z')^2}^(1/2)du
=∫[0,π](u+1)du
となります。
後は簡単な積分なので、計算して下さい。

(4)パス。