- ベストアンサー
ベクトル解析学の問題：正解と解説
- ベクトル解析学の問題で正解の選択肢とその解説についてまとめました。
- 問題の曲線x(t)をe^λ倍に相似拡大した曲線xλ(t)=e^λx(t)の形状の比較に関する正解と解説を詳しく紹介します。
- (1)～(5)の選択肢のうち正解が(1)である理由について、解説を含めて解説します。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
x(t)はパラメータtをもつ3次元ベクトルですかね。曲線x(t)をe^λ倍に相似拡大したものは、 y(t) = (e^λ) x(t) に他なりません。成分を書くと y(t) = (e^λ)(e^t) cos(t) (e^λ)(e^t) sin(t) (e^λ)(e^t) です。パラメータtを一次式変換T=t+λで書き換えたものをY(T)とすると Y(T) = y(t+λ) = (e^T) cos(T-λ) (e^T) sin(T-λ) e^T と書けます。この変換はパラメータを差し替えただけであり、しかも、パラメータの変域は変化していません。ですから、曲線自体には何の違いももたらしません。 次に、この曲線を、第3成分の単位ベクトルを軸としてλだけ回転したものをZ(T)としましょう。つまり、行列 cos(λ) -sin(λ) 0 sin(λ) cos(λ) 0 0 0 1 による座標変換を行う訳です。その結果は Z(T) = (e^T) cos(T) (e^T) sin(T) e^T です。だから、平行移動（は使わなかったけど）と回転だけによって、y(t)を元の図形x(t)と一致させることができた。これが「合同」ってことです。 従って、選択肢(1)が正解ですね。 なお、解説の「e^(-θ)倍したものとθだけ回転したものは同じ」というのは、（θ=1を代入してみれば分かるように）明らかな誤り。これは、もしかするとANo.1の仰るような「複素数表現をした場合、e^(iθ)倍したものとθだけ回転したものは同じ」という意味のミスタイプなのか、あるいはもっと別の話をしているのか、いずれにせよ、この問題とさしたる関係のないトンチンカンかと思われます。
その他の回答 (1)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
問題が正しいとすれば、正解はありません。また解説も間違いです。 解説の (1) 誤：)e^(-λ)倍したものとλだけ回転したものは同じです。 正：)e^(-λi)倍したものとλだけ右回転したものは同じです。 など eの指数部に虚数単位」iが抜けていませんか？
補足
問題が正しいとすれば、正解はありません。また解説も間違いです。 解説の (1) 誤：)e^(-λ)倍したものとλだけ回転したものは同じです。 正：)e^(-λi)倍したものとλだけ右回転したものは同じです。 など eの指数部に虚数単位iが抜けていませんか？ >eの指数部に虚数単位iは書かれていません。誤植でしょうか？問題が正しいとすれば、正解はなく、また解説も間違いな理由を途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。 誤：)e^(-λ)倍したものとλだけ回転したものは同じです。 正：)e^(-λi)倍したものとλだけ右回転したものは同じです。 また上記二段目が正しい理由を途中計算を交えて解説していただけると助かります。
補足
再度補足質問失礼します。解説の「e^(-λ)倍したものとλだけ回転したものは同じ」理由は解説していただいて理解できましたが、それと「e^(-θ)倍したものとθだけ回転したものは同じ」との違いがわかりません。 (1)両者の違いと (2)なぜθだと誤りなのかをご説明していただけると助かります。λがスカラー倍の定数でθが角度を表すという意味なのでしょうか？ (3)「複素数表現をした場合、e^(iθ)倍したものとθだけ回転したものは同じ」が成り立つ理由のご解説をお願いします。オイラーの定理を使うのでしょうか？ 以上3点補足回答宜しくお願いします。