ベクトルの証明問題です。

質問

3次元の実線形空間のベクトルx={x1,x2,x3}＾Tのうち、x1+x2+x3=0を満たすものは、3次元の実線形空間の部分空間を作ること、ならびにその部分空間は2次元であることを示しなさい。

この問題の解説を何方か宜しくお願いします。

回答No.7

muturajcp · ベストアンサー

3次元の実線形空間R^3のベクトル
x={x1,x2,x3}^tのうち、
x1+x2+x3=0を満たすものは、
x3=-x1-x2を満たすから
x={x1,x2,-x1-x2}^tを満たすから
x={x1,0,-x1}^t+{0,x2,-x2}^tを満たすから
x=x1{1,0,-1}^t+x2{0,1,-1}^tを満たすから
その集合をV
e1={1,0,-1}^t
e2={0,1,-1}^t
V={x=x1e1+x2e2|{x1,x2}⊂R}
{x,y}⊂V,{r,s}⊂R
とすると
x=x1e1+x2e2
y=y1e1+y2e2
となる
{x1,x2,y1,y2}⊂R
があり
{r(x1+y1),s(x2+y2)}⊂R
だから
rx+sy=r(x1+y1)e1+s(x2+y2)e2∈V
だから
VはR^3の部分空間となる
Vの基底は
e1={1,0,-1}^t
e2={0,1,-1}^t
の2個だから
Vの次元dimV=2
∴Vは
2次元

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

次元定理 を使ってよいなら 「次元定理より2次元」
でおしまいです。

何かの演習問題なら使ってよい定理の範囲を示してください。

回答No.5

Tacosan

この際だからきちんと指摘しておこう.

言葉はきちんと使ってください. #3 への補足で
「ベクトルを形成する基底の個数でしょうか。例えばrankW=3ならWの行列は三次元。
という認識です。」
と書いていますが, 「ベクトルを形成する基底」ってなんですか? そのあとの「rank」って何? 定義もなく「W」なんて謎の記号を持ち出してどうするの? 「三次元の行列」とはどのように定義されているのですか?

まあこんな短い文章の中でこれだけ突っ込めるような書き方ができることも, 1つの才能なのかもしれんが....

回答No.4

Tacosan

「部分空間は2次元であること」がわからないってことは, 「部分空間である」ことは問題ないってことだね. だとしたら, その基底を作ってベクトルの個数を数えればいいだけ.

回答No.3

Tacosan

まあ「x={x1,x2,x3}＾T」の部分の記号を (質問者が) 間違えてるだけだとは思うんだけどね＞#2.

さておき「次元」の定義はわかりますか?

補足

ベクトルを形成する基底の個数でしょうか。例えばrankW=3ならWの行列は三次元。
という認識です。

回答No.2

k14i12d

何かもっと条件があるはず。x1、x2、x3、が全部0の場合や二つが0の場合その他の場合には二次元にはならない。

補足

k14i12dさん、回答有り難うございます。
問題文にはこれだけしか書いてないです...
関係ないと思うのですが、(a,b)は字数形空間のベクトルa,bの内積、||a||はベクトルaのノルム、Tは転置を表す。と書いてあります。

回答No.1

Tacosan

何が分からない?

補足

Tacosanさん、回答有り難うございます。
部分空間は2次元であること
この部分です。なぜ2次元になるのでしょうか。問題文はこれだけなのですがよくわかりません...