ベクトルが3次元実ベクトル空間を動くとき
以下の行列Aについて、すべての問いに答えなさい。
|1 4 0 |
A = |1 0 2 |
|0 2 -2 |
(1) 行列Aの固有値を求めなさい。
(2) 行列Aの各列をベクトルa1,a2,a3で以下のように表す。
A=(a1,a2,a3)
これらの3個のベクトルの従属関係を式で示しなさい。
(3) ベクトルxが3次元実ベクトル空間(線型空間)V全体を動くとき、これによってつくられる点の集合を
W1={Ax|x∈V}
とする。この集合がつくる実ベクトル空間の次元を求めなさい。
(4) ベクトルpをp=t(1,2,1)とする。ベクトルxがx・p=0となるような3次元実ベクトル空間Vを動くとき、xがどのような図形を描くか答えなさい。なお、t()は転置を表し、x・pはxとpの内積を表す。
(5) (4)のようにxが動くとき、集合
W2={Ax|x∈V,x・a=0}
がつくる実ベクトル空間の次元を求めなさい。
という問題があるのですが、
(1):λ1=3, λ2=0, λ3=-3
(2):略
(1),(2)は合ってる自信があります。
(3)
|1 4 0 | |1 4 0 |
A = |1 0 2 | = |0 -4 2 |
|0 2 -2 | |0 0 0 |
これはrank=2となり、xをかけてもrankは変わらないので、
次元は２
(3)は次元は合ってる気がするのですが、答え方が間違ってるような気がします。
(4),(5)の解き方が分かりません。
(4)はx・p=0なので直交することは分かるのですが、これをどう使うかが分かりません。
(5)は(4)が解けないと解けないのですが、(4)が解けたとしてもaというよく分からないの出てきてて、解けなくなってしまいそうです。
どなたか(3),(4),(5)を解いて下さる方いらっしゃいませんか？
