固有ベクトル

質問

次の行列の正規化させた固有ベクトルを求めたいのですが、行き詰ってます。

(0 2 0)
(2 0 2)
(0 2 0)

固有値を求めると、λ＝０、－2、2でした。

λ＝０の時を考えると、
(0 2 0)
(2 0 2)
(0 2 0)

2y=0
2x+2z=0

λ＝2の時を考えると
(-2 2 0)
(2 -2 2)
(0 　2 -2)

-2x+2y=0
2x -2y +2z=0
2y -2z=0

λ＝－2の時を考えると
(2 2 0)
(2 2 2)
(0 2 2)

2x+2y=0
2x+2y+2z=0
2y +2z=0

となります。ここまではできるのですが、ここからどのように展開していけばよいのかわかりません。3×3の正方行列の固有ベクトルの求め方って、何かコツとかあるのでしょうか？お願いします。

回答No.5

caramel_latte · ベストアンサー

ＮＯ．２です。
固有値、そうですよね(^-^)
行列の問題で、連立方程式なんか使って解いたら、
先生に怒られるので、
というか、有無を言わさずバツなのでやらないでくださいね。。
宿題になっているということなので、学校で習ったことはありますよね？？
掃き出し方で解けるとこまで解きます。
固有ベクトルを求めるのは、教科書にも載っていると思うのですが・・・
かなり、簡単な例で・・・
λ＝０のとき、
０２０
２０２　　　　　　　(1)
０２０
＿＿＿＿＿
０１０
１０１　　　　　　　(2)
０１０
＿＿＿＿＿
０１０
１０１　　　　　　　(3)
０００

で、↑まできたら、もう計算は出来ないですよね？？
(1)では、λ＝０を代入した式で
(2)は、各行を２で割りました。
(3)は、(１，２)成分を基本として、３行目－１行目をしました。
で、(3)の段階のように、もう計算できないとこまで来たら
等式に直します。
ｙ＝０
ｘ＋ｚ＝０
で、ｘとｚは値がわからないので、
ｘ＝ａ、ｚ＝ｂとおきます。
λ＝０の時の固有ベクトルｕは、
　　(１)　　(０)
ｕ＝(０)ａ＋(０)ｂ　
　　(０)　　(１)
ですかね。
他のλの時は自分で計算してください(^-^;)
サイトとかは分からないです・・・すいません。
でも、固有ベクトルを求める問題をやっているなら、
掃きだし方は大丈夫ですよね？？
多分線形代数ですよね・・・？
私もホント嫌いでした。
今はそんなんでもないんですけど。頑張ってください！！
参考になれば♪

お礼

できました！！
3つの固有値から出てきた固有ベクトルを求め、
X＝X1+X2+X3とし、

D＝X＾-1AXを計算してみて、（対角化）もしてみて、そのDの対角要素は固有値と一致しました！

多分あってると思います。

いろいろ親切に回答していただきありがとうございました。ほかの問題にもチャレンジして、慣れたいと思います。ありがとうございました！！

回答No.4

Rossana

>λ=0,2√2,-2√2になりました。
では，あとはおそらく連立方程式を解くのみですね．テキストの「掃き出し法」という所をよく読めばこの3次方程式を比較的簡単に解くことができます．

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

pyon1956

たとえば、固有値0のとき、
2y=0
2x+2z=0
するとy=0 , z=-x
だから固有ベクトルは(1,0,-1)
(x,0,-x)のxをなんでもいいので1にしただけです。
こんな調子でほかの二つも出してみては？

お礼

参考になりました！ありがとうございました。

回答No.2

caramel_latte

固有値、間違っていると思います・・・。
で、λに代入してから式を等式に直しちゃダメです！！
行変形なり列変形して、行列式を解かないとです。
独学でもしているのでしょうか？？
学生さんなら、先生なり友達に初めから教えてもらったほうが
いいと思いますよ？？

補足

返答ありがとうございます。

やりなおしてみたら、
λ=0,2√2,-2√2になりました。

でも、これ以降がやはりわかりません。

冬休みの課題なので、できるだけ早くやってしまいたいのですが、どこか良いサイトとかご存知だったら教えてほしいです。

回答No.1

eatern27

＞固有値を求めると、λ＝０、－2、2でした。

固有値を計算しなおした方がよいと思います。