行列の対角化と固有ベクトル

質問

行列A、二次の正方行列PについてPが逆行列P~(-1)を持ち、P~(-1)AP＝...
α、βの値と行列Pの例を一つ定めよ

という問題があります。（行列は添付の画像を参照してください。）

回答でわからないところがあります。(1)とおいたあと、
「固有方程式k^2-(1+4)k+1*4-2*(-1)=0から　k=2,3」とします。

この２，３がα、βなんでしょうか？

そのあと、K=2のとき固有ベクトルを（２，１）（←縦）、K=3のとき固有ベクトルを（１，１）（←縦）となり、

その後Pを添付の図のように導出しました。これは、第一列と第二列は逆にしてもOKなんでしょうか？
k=2,3と出てきているので、α、βをどう入れても良いような気がするのですがどうなんでしょうか？

回答No.5

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.4です．

お礼の

>「Ap=αp,Aq=βq」
>が成り立つなら、
>A(p q)=(Ap Aq)=(α β)となるのではないのでしょうか？

についてですが，そうはなりません．

Aは2×2，P=(p q)も2×2だからAP=A(p q)=(Ap Aq)は2×2です．

ところが(α β)は1×2だから行列の型が違ってきます．

A(p q)=(Ap Aq)=(αp βq)=(p q)Λ

を確認するには，具体的にやってみましょう．x成分2，y成分1の列ベクトルを(2;1)のように書くことにします．すると，

A(p q)=((1;-1) (2;4))((2;1) (1;1))=((4;2) (3;3))

(p q)Λ=((2;1) (1;1))((2;0) (0;3))=((4;2) (3;3))

となり確かになりたちます．p,qは一次独立なので(p q)^{-1}が存在し

(p q)^{-1}A(p q)=Λ=((α;0) (0;β))

と対角化されるわけです．このときα，βはそれぞれ固有ベクトルp,qの固有値です．p,qを入れ替えればα，βも入れ替わります．

お礼

回答ありがとうございます。
返事が遅くなってごめんなさい。

しつこい質問でしたが答えてくださりありがとうございました。

回答No.4

ereserve67

ANo.3です．タイプミスがありました．訂正します．

一般論はこうなります．固有値α，βが異なる時，それぞれに属する固有ベクトルをそれぞれp,qとします．

Ap=αp,Aq=βq

このとき2次正方行列Xの第1列ベクトルをx,第2列ベクトルをyとするとX=(x y)という書き方をします．このとき次のような変形ができます．

（☆）A(p q)=(Ap Aq)=(αp βq)=(p q)Λ

最後のΛは(1,1)成分がα，(2,2)成分がβ，その他の成分が0の対角行列です．ここで

P=(p q)

とおくと，

AP=PΛ

p,qが一次独立ならPの逆行列P^{-1}が存在し，

P^{-1}AP=Λ

となります．

このことから，p qの順にP=(p q)とすればΛは左上がα，右上がβになり，q pの順にP=(q p)とすればΛは左上がβ，右上がαになります．

（☆）の計算は何次でも成り立ちます．2次の場合できっちり確認するといいと思います．

お礼

回答ありがとうございます。
ですがちょっとよくわかりません。

「Ap=αp,Aq=βq」
が成り立つなら、
A(p q)=(Ap Aq)=(α β)となるのではないのでしょうか？

回答No.3

ereserve67

一般論はこうなります．固有値α，βが異なる時，それぞれに属する固有ベクトルをそれぞれp,qとします．

Ap=αp,Aq=βq

このとき2次正方行列Xの第1列ベクトルをx,第2列ベクトルをyとするとX=(x y)という書き方をします．

（☆）A(p q)=(Ap Bq)=(αp βq)=(p q)Λ

最後のΛは(1,1)成分がα，(2,2)成分がβ，その他の成分が0の対角行列です．ここで

P=(p q)

とおくと，

AP=PΛ

p,qが一次独立ならP^{-1}が存在し，

P^{-1}AP=Λ

となります．

このことから，p qの順にP=(p q)とすればΛは左上がα，右上がβになり，q pの順にP=(q p)とすればΛは左上がβ，右上がαになります．

（☆）の計算は何次でも成り立ちます．2次場合できっちり確認するといいと思います．

回答No.2

B-juggler

これは大事なところだから。
しっかりとね。

（１）とおいた、と言うのが書いてないから、できたら書いて？

固有方程式を出す方法はダイジョウブかな？

その辺り、なんとなく　で通り過ぎると、後で失敗するよ～。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

回答ありがとうございます。
＞（１）とおいた、と言うのが書いてないから、できたら書いて？
ごめんなさい。書き忘れました。サイトの仕様のせいで追加で画像をアップできないみたいです・・・。

＞固有方程式を出す方法はダイジョウブかな？
そこは一応暗記しています。全部独学で勉強しているので、意味の理解は微妙なところがありますが、とりあえずは間に合ってます。

回答No.1

lastbouzu

2と3の順番はどちらでもいいと思います．対角化は式変形をしているだけなので，対角行列が作れて計算したときに元の行列と等しくなっていればどのような形でもいいです．

お礼

回答ありがとうございます。
端的に答えて下さり、わかりやすかったです