変数変換と極座標変換を使う問題が分かりません

質問

変数変換と極座標変換を使う積分の問題をやっているのですが、
　よくわかりません。
　すいませんがどなたかお教えください。　よろしくお願いします。

(1)．変数変換 x＝２u　，ｙ＝３ｖを行い　u、ｖ　に関する重積分で表せ。　　　　　
　　(下式の様なＤを用いた形でよい。)

(2)．(１)で表した　(u,ｖ)　上の領域に関する重積分を極座標変換し、
　　　ｒ，θに関する重積分に直し計算せよ。
　　π/2　　　　　　　　　　　　　　　　π/2
（∫　　　sin^2θ　dθ＝π/4　，∫　　　cos^2θ　dθ＝π/４　を用いてよい）
　　　0　　　　　　　　　　　　　　　　　　0

計算する式　と　積分範囲（D）は画像で出します。

ほかにもいくつか出しているので、できればお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
x=2u,y=3vで変数変換すると
I=∫∫[D] (4u^2+9v^2) 6dudv, D:u^2+v^2≦1
=6∫∫[D] (4u^2+9v^2) dudv

(2)
u=rcosθ,v=rsinθと極座標に変数変換すると
dudv=rdrdθ
4u^2+9v^2=(r^2){4cos^2(θ)+9sin^2(θ)}
より
I=6∫∫[D] (r^3){4cos^2(θ)+9sin^2(θ)} drdθ,　D:0≦r≦1,-π≦θ≦π
=6∫[0,1](r^3)dr∫[-π,π]{4cos^2(θ)+9sin^2(θ)} dθ
=6(1/4)∫[-π,π]{4cos^2(θ)+9sin^2(θ)} dθ
被積分関数が偶関数で積分区間が対称なので積分区間を[0,π/2]にして4倍しても良いから
I=6∫[0,π/2]{4cos^2(θ)+9sin^2(θ)} dθ
後はヒントの式が使えます。

なお、ヒントの式を使わなくても２倍角の公式と被積分関数の周期性を用いても良いでしょう。
I=6(1/4)∫[-π,π]{4cos^2(θ)+9sin^2(θ)} dθ
=(3/2)∫[-π,π]{2+2cos(2θ)+(9/2)-(9/2)cos(2θ)} dθ
cos(2θ)は偶関数で周期がπなのでその整数倍の対称区間での積分は零になることから
I=(3/2)∫[-π,π] {2+(9/2)}dθ
後は定数の積分なのでできるでしょう？

[注]　同種問題を連続丸投げしないで、１つ問題のやり方が分かったら、それを真似て
自分で出来るところは自力でやって、それでも分からない場合は途中計算を書いて詰まっている所だけ質問するようにして下さい。

お礼

分かり易かったです、どうもありがとうございます。

質問の仕方についても注意をいただきありがとうございます。
今回の指摘を今後の参考にさせていただきます。

回答No.1

hatfield3505

普通にx=2rcosθ，y=3rsinθとおいて積分すれば簡単
ヤコビアンを計算して
∬（4r^2cos^2θ+9r^2sin^2θ）6r　drdθ　Ｄ＝｛０≦ｒ≦１、０≦θ≦２π｝
計算して、条件の式使いたいなら、θの範囲を０≦θ≦2/πにして４倍すれば大丈夫

あとはがんばってください。