私立高校の入試問題 （数学） 教えて下さい

質問

ＰＱ＋ＱＲを相似を使い求めることはできたのですが、
解答の方には　
ＡからＢＣに垂線ＡＭを下す。
　であるから....
といっています。
どうしたら　問題から　ＰＱ＋ＱＲ＝ＰＭ＋ＭＲ　であるといえるのでしょうか？
教えて頂けると助かります。

回答No.5

shuu_01 · ベストアンサー

＞　以下　解答です。
＞　底辺ＢＣの中点を点Ｍとすると、ＰＱ＋ＱＲ＝ＰＭ＋ＭＲ
＞　ＡＢ＝５　ＢＭ＝４より　ＡＭ＝３、ＡＰ＝ｘ　とすると三平方の定理より
＞　4^2 - (5-x)^2 = 3^2 - x^2 よって　x=9/5
＞　よって PM=12/5
＞　⊿ABCは二等辺三角形より　ＰＭ＝ＭＲであるから　ＰＱ＋ＱＲ＝２ＰＭ＝24/5

とりあえず、ひっちゃかめっちゃかで、その問題集に
クレームしといた方が良いです

普通の子は 「バカだなぁ」 と相手にしないですけど、
数学 苦手な子はそこで泥沼に陥ってしまいます

△BMP と△AMP に 三平方の定理使ってるけど、
そもそも AB と PQ は直角ですけど、AB と RP は
（Q と M が一致しない限り） 直角じゃありません

問題の解説文、全然、間違ってます

お礼

そうですよね。
解答自体意味不明でしたがこちらの知識不足かもしれないと悩んでおりました。
丁寧な対応ありがとうございました。

回答No.4

Quattro99

PQ+QR=PM+MRと書かれているのですか？
MからAB、ACに降ろした垂線の足をP'、R'とでも置いて、PQ+QR=P'M+MR'と言っているのではないですか？
他の方の回答にあるとおり、これであれば成り立ちます。

補足

すいません　すこし違っておりましたので補足致します。
以下　解答です。
底辺ＢＣの中点を点Ｍとすると、ＰＱ＋ＱＲ＝ＰＭ＋ＭＲ
ＡＢ＝５　ＢＭ＝４より　ＡＭ＝３、ＡＰ＝ｘ　とすると三平方の定理より
4^2 - (5-x)^2 = 3^2 - x^2 よって　x=9/5
よって PM=12/5
⊿ABCは二等辺三角形より　ＰＭ＝ＭＲであるから　ＰＱ＋ＱＲ＝２ＰＭ＝24/5

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

＞ＡからＢＣに垂線ＡＭを下す。
＞　であるから....
＞といっています。
＞どうしたら　問題から　ＰＱ＋ＱＲ＝ＰＭ＋ＭＲ　であるといえるのでしょうか？

「であるから」何と書かれているのかがわからないので、なんとも言い難いのですが、
PQ＋QR＝PM＋MRとはならないですよ。

辺BCに関して点Rと対称となる点R’をとると、3点 P、Q、R’は一直線上に並びます。
それと、3点 P、M、R’を結ぶ「折れ線」とを比較すれば、等しくはならないことがわかります。

「AからBCに垂線」を下すというのは、8の半分＝ 4と AB＝ AC＝ 5、直角を組合せると、
3：4：5の直角三角形が出てくることをいいたいのだと思います。

そうすれば、三角形BQPも三角形CQRも同じ 3：4：5の直角三角形であることが示せます。
具体的に書いてみると、
　BQ：PQ＝ CQ：RQ＝ 5：3となり、
　PQ＋QR＝ 3/5*BQ＋3/5*CQ＝ 3/5*(BQ＋CQ)＝ 3/5*BC＝ 24/5

という風に求まります。

回答No.2

shuu_01

No.1 の回答者です

ごめんなさい

質問文を読まないで、問題文のみ読んで回答していました

＞　どうしたら　問題から　ＰＱ＋ＱＲ＝ＰＭ＋ＭＲ　
＞　であるといえるのでしょうか？

Q と M が一致している時は、当然 ＰＱ＋ＱＲ＝ＰＭ＋ＭＲ　

となりますが、一致していない時は、図を見て明らかなように

ＰＱ＋ＱＲ ＜ ＰＭ＋ＭＲ となり、問題の解説は間違っています

回答No.1

shuu_01

BC について、A と対象な点を A'、R と対象な点を R'、
BC の中点を O とおき、O から AB に垂線 OS を下ろします

そうすると、△A'BC と △ABC は合同、
四角形 ABA'C は４辺の長さ 5 のひし形となります

また、QR ＝ Q'R ですので、

PQ ＋ QR ＝ PQ ＋ QR' ＝ PR' となります

PR' は平行線 AB と A'C の間の距離に相当し、
SO はその 1/2 の長さです

△ABO と△ AOS は∠ BAO が共通、残りの１つの角が直角で
相似となり、AB：BO ＝ AO：SO

AO の長さは √（5^2 － 4^2） ＝ √9 ＝ 3 ですので

5：4 ＝ 3：SO

SO ＝ 12/5

PQ ＋ QR ＝ 2・（12/5） ＝ 24/5

【答え】 24/5