数学の問題です

質問

４点O A B Cを頂点とする一辺の長さが８cmの正四面体がある。辺BCの中点をMとし、辺OA上にOD=MDとなるように点Dをとる。この時、１）線分OMの長さは？

△ＯＡＭの面積は？

点Dから線分AMにひいた垂線とAMとの交点をHと

するとき、DHの長さは？

回答No.2

Mr_Holland

三平方の定理と相似を使って　次のように求めることができます。

1)　△OMCに三平方の定理を適用すると、
　　OC^2=OM^2+MC^2
　∴OM=√{8^2-(4√3)^2}=4√3 (cm)

2)　△AMC≡△OMC　なので　AM=OM=4√3 (cm)　となるので　△OAMはAM=OMの二等辺三角形。
　　点Mから線分OAに下ろした垂線の足を点Eとする。
　　△MEAに三平方の定理を適用して、
　　AM^2=EM^2+EA^2
　∴EM=√{(4√3)^2-4^2}=4√2 (cm)

　従って、△OAMの面積は、
　　△OAMの面積=(1/2)EM×OA=16√2 (cm^2)

3)　OD=MD から△DOMは二等辺三角形。　∴　∠DOM=∠DMO
　　ところで△MOAも二等辺三角形なので　∠MAO=∠MOD
　　従って、対応する2角が等しいので　△MAO∽△DMO　で相似比は　OA:OM=2:√3
　∴OD=(√3/2)×OM=6 (cm)
　∴AD=OA-OM=2 (cm)

　　∠MEA=∠DHA=90°、　∠A共通で　対応する2角が等しいので　△MEA∽△DHA　で相似比は　MA:DA=2√3:1
　∴DH={1/(2√3)}×ME=(2/3)√6 (cm)

回答No.1

noname#189285

えらく難しい問題ですね・・・。

＞線分OMの長さは？

三角形OMCは点Mが直角で、MC＝4、OC＝8で1:2なのでMC：OM＝1:√3なので

OM＝4√3

＞△ＯＡＭの面積は？

この三角形の三辺の長さはOA＝8、AM＝4√3、OM＝4√3なのでこれをa、b、cとするとヘロンの公式より、

s＝1/2・(a+b+c)
　＝1/2・(8+4√3+4√3)
　＝4√3＋4

S＝√(s・(s-a)・(s-b)・(s-c))
　＝√((4√3＋4)(4√3＋4-8)(4√3＋4-4√3)(4√3＋4-4√3))
　＝√((4√3＋4)(4√3-4)・4・4)
　＝4√(48-16)
　＝4√32
　＝16√2

＞点Dから線分AMにひいた垂線とAMとの交点をHとするとき、DHの長さは？

三角形MAOは頂点をMとした二等辺三角形である。
三角形DMOは頂点をDとした二等辺三角形である。
点Oの角度を共有していることから、二つの三角形は相似である。
従って
OM：OA＝OD：OM
4√3：8＝OD：4√3
8・OD＝48
OD＝6

よってAD＝8-OD＝8-6＝2

次に、三角形OAMの高さをhとする(頂点はO)。

面積は上記より16√2、底辺は4√3

従ってh＝2・(16√2)÷4√3
　　　　　＝(8√2)/√3

上記hの足をIとすると

三角形OAIと三角形DAHは相似なので

OA：h＝DA：DH

8：(8√2)/√3＝2：DH

8・DH＝(16√2)/√3

DH＝(2√2)/√3

以上です。たぶん合っていると思います。