極限の問題

質問

lim［x→0］sin(1/x)=0
ってなんでこうなるんですか？
過程を教えてください。

回答No.1

shuu_01 · ベストアンサー

x が 0 に近づくと、1/x は無限大に大きくなっていくから、

sin (1/2) は -1 と 1 の間を限りなく振幅し、0 にはなりません

問題文、書き間違えてると思います

お礼

遅くなりましたが，問題を読み間違えていました．
申し訳ないですが，この回答をもって回答者すべての方たちへのお礼とさせて頂きたいと思います．
どうもありがとうございました．

回答No.7

NemurinekoNya

lim［x→0］sin(1/x)が存在すると仮定します。
すると、
これはxのゼロの近づき方にかかわらず、この極限値は同じにならないといけない。

ということで、
x_n = 1/(π/2+2nπ)
　ここで、n=1,2,3・・・
という点をとりながら、
xがゼロに近づいてゆくと、
　sin(1/x_n) = sin(π/2+2nπ) = 1
なので、
　lim［x→0］sin(1/x)=0
にならないでしょう。
この近づき方だと、
　lim［x→0］sin(1/x)=1
になってしまいます。

さらに、x_n = 1/(-π/2+2nπ)という点をとりながら、xがゼロに近づくと、
　sin(x_n) = sin(-π/2+2nπ) = -1
だから、
　lim［x→0］sin(1/x) = -1
となってしまいます。

xのゼロに近づき方によって、lim［x→0］sin(1/x)（？）の値が変わってしまいます。
つまり、
　lim［x→0］sin(1/x)
は存在しない！！
ということです。

回答No.6

shuu_01

英文での説明もありました

http://www.math.brown.edu/~jleshin/sin.pdf

lim［x→0］sin(1/x)=0　は存在しません

回答No.5

shuu_01

Yahoo！ 知恵袋に似た質問がありました

極限値を求める問題ですが、
　lim[x→0] sin(1/x)　の極限値はどのように式で表して解答すればよいのでしょうか。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1312156173

ベストアンサー：

ε-δ論法＆背理法にしてみます。
x→0でsin(1/x)→aと収束すると仮定する。あるδ>0に対して、閉区間D=[{(2/δ)+2π}^(-1), δ/2]を考えると、
f(x)=sin(1/x)と書くとf(D)=[-1,+1]⊂Rとなる。よって例えばε=1/2とすると、これはε-δ論法による極限の定義、
　任意のε>0に対して「|x|<δ⇒|sin(1/x)-a|<ε」となるδ>0が存在する
の反例となっており、収束するとの仮定が誤りと分かる。

「反例となっている」を補足説明します。
(1) 閉区間Dは{x∈R：|x|<δ}に含まれます。
(2) しかし、f(D)は長さ2の区間であるのに対し、{x∈R：sin(1/x)-a|<ε}（ε=1/2）はaによらず長さ1の区間なので、
　決してf(D)⊂{x∈R：sin(1/x)-a|<ε}とはなりません。
以上(1)(2)から、|x|<δ⇒|sin(1/x)-a|<εが成立しないことが分かります。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

【答え】　|x|<δ⇒|sin(1/x)-a|<ε は成立しません

回答No.4

shuu_01

No.3 さん、訂正どうもありがとう

sin(1/x) って、x が 0 に近づくと、1/x は無限に大きくなって、
sin(1/x) は -1 と 1 の間を限りなく振幅しますよね

x → ∞ だと、lim［x→∞］sin(1/x)=0　になりますけど

それとも、lim［x→0］sin x =0　かなぁ？

回答No.3

kamobedanjoh

命題の式
lim［x→0］sin(1/x)　
において，xが限りなく ０ に近づくとき，1/x は限りなく無限大に近づく事になります。
NO.１　さんのご回答の内，『sin (1/2) 』は『sin (1/x→0) 』の書き誤りかと思いますが，『-1 と 1 の間を限りなく振幅し、0 にはなりません』が正解かと思います。

回答No.2

shuu_01

with_nature って自然、天然って意味ですか？

僕も卓球のコーチから天然って言われます

普通にドライブしてても、真ん中に当たらないので
ナックルになったり、エッジに当たって回転
かからなかったり、指に当たって指ナックルになったり

横回転サーブのつもりなのに、何故か上、下回転が
かかります

僕より上手な中学生はいつも同じボールを返してて

コーチに「素直すぎる。クセ球がない。簡単に返せる」

と文句 言われてます