積分の問題です

質問

y=log(1-x) y=ー2　x＝０
で囲まれた部分の面積を求めよ
という問題です。

解説がなくてどうしても回答と合いません。
解説をお願いします。

回答No.8

shuu_01 · ベストアンサー

S=∫[x=0→(1-1/e^2)]{log(1-x)+2}dx
=[-(1-x)log(1-x) + (1-x)][x=0→(1-1/e^2)]+∫[x=0→(1-1/e^2)]{2}dx
= -e^(-2) log e^(-2) + e^(-2) -log 1 - 1 + 2 - 2e^(-2)
= 2e^(-2) + e^(-2) - 0 - 1 + 2 - 2e(-2)
= e^(-2) + 1

で他の人の回答と一緒の答えになります

ps: なんか 2 の所も 3 と間違えてたよ

お礼

ありがとうございました。
おかげで解決しました。
他にもご回答してくださった方々ありがとうございます。
今回はshuu_01さんをベストアンサーにさせていただきます。

回答No.9

shuu_01

No.5 さんの y軸方向での積分はすばらしい発想です！

しかし、[0,2] ではなく、[-2,0] です

まではよかったのですが、その後の計算、
僕も間違えてたので、訂正します

面積S=∫[-2,0] (1-e^y)dy
　　 = [y-e^y][-2,0]
　　 = (0 - e^0) - ( -2 - e^(-2))
　　 = (-1) - ( -2 - e^(-2))
　　 = 1 + e^(-2)

となり、No.4 さんの回答と同じになります

回答No.7

shuu_01

＞　間違いを指摘していただけますでしょうか。
＞　S=∫[x=0→(1-1/e^2)]{log(1-x)+2}dx
＞　=∫[x=0→(1-1/e^2)]{-(1-x)'log(1-x)+2}dx
＞　=[-(1-x)log(1-x)][x=0→(1-1/e^2)]+∫[x=0→(1-1/e^2)]{1+2}dx
＞　=-1/e^2log1/e^2+3-3/e^2
＞　=3-1/e^2

まず、∫log(1-x) dx ＝ -(1-x) log(1-x) + (1-x) + C
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
です、上記の計算では ２項目が抜けています

回答No.6

shuu_01

No.5 さんの y軸方向での積分はすばらしい発想です！

しかし、[0,2] ではなく、[-2,0] です

面積S=∫[-2,0] (1-e^y)dy=[y-e^y][-2,0]=-2-e^(-2)+e^0=-1-e^(-2)

となり、No.4 さんの回答と同じになります

回答No.5

info22_

y軸方向の積分で面積を考えた方が簡単でしょう。

　y=log(1-x)
　1-x=e^y
　x=1-e^y
面積S=∫[0,2] (1-e^y)dy=[y-e^y][0,2]=2-e^2+e^0=3-e^2 ←　(答え)

回答No.4

yyssaa

＞図を描くと、求める面積Sは第四象限にあるので、
それを第一象限に移動すると、Sはx軸、y軸及び
y=log(1-x)+2で囲まれた部分の面積になります。
y=log(1-x)+2とx軸との交点のx座標は0=log(1-x)+2
1-x=e^(-2)、x=1-e^(-2)。
よって求める面積をSとすると
S=∫[x=0→(1-1/e^2)]{log(1-x)+2}dx
ここで、s=log(1-x)で置換すると、
ds/dx=-1/(1-x)、dx=-(1-x)ds=-e^sdsだから、
∫[x=0→(1-1/e^2)]log(1-x)dx=-∫[s=0→log(1/e^2)]se^sds
=-∫[s=0→-2]se^sds=∫[s=-2→0]se^sds
部分積分により、∫se^sds=se^s-e^s+C(定数)だから
∫[x=0→(1-1/e^2)]log(1-x)dx=(se^s-e^s)[s=-2→0]
=-1+3e^(-2)
また、2∫[x=0→(1-1/e^2)]dx=2-2e^(-2)なので、
S=-1+3e^(-2)+2-2e^(-2)=1+e^(-2)・・・答

補足

丁寧にご回答ありがとうございます。
S=∫[x=0→(1-1/e^2)]{log(1-x)+2}dx
の計算をsと置かずにやって合わなかったのですが、間違いを指摘していただけますでしょうか。
S=∫[x=0→(1-1/e^2)]{log(1-x)+2}dx
=∫[x=0→(1-1/e^2)]{-(1-x)'log(1-x)+2}dx
=[-(1-x)log(1-x)][x=0→(1-1/e^2)]+∫[x=0→(1-1/e^2)]{1+2}dx
=-1/e^2log1/e^2+3-3/e^2
=3-1/e^2

読みづらくなってしまいすみません。
お願いします。

回答No.3

shuu_01

補足ありがとう

log（1 - x） の積分ですが、

1 - x = t と置いて、置換積分を使えます

■指数関数、対数関数の不定積分
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/expo_log_integral1.htm

に方法、書いてます

kanopooh さんはその方法で解いたの？

回答No.2

Tacosan

であなたは何をどう考えてどう計算してどんな答えにたどり着いたんですか?

回答No.1

shuu_01

log（1 - x）って 底 は e の自然対数なの？ 10 の常用対数なの？

書き忘れなの？

補足

すみません、eです。