積分 面積 問題

質問

積分　面積　問題

2x^2-2xy+y^2=9で囲まれた面積を求めなさい。
2x^2-2xy+y^2=9を解くと、
x^2-2xy+y^2=9－x^2
（x-y）^2=9－x^2
x-y=±√（9－x^2）
-y=±√（9－x^2）－x
y=x±√（9－x^2）
と解けます。
結果は同じですが、y=x±√（9－x^2）の±は
（－+：マイナスプラス）とした方がいいでしょうか？

積分範囲は、どのように求めればよいでしょうか？
グラフを描いたのですが、グラフから-3～+3となる
ように思ったのですが、（x-y）^2=9－x^2から、
積分範囲を求めることができません。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#1,#3,#4です。

A#4の補足の質問に対する回答

>y=x±√（9－x^2）…(●) についての、
>yの実数条件を求めるということだから、
>y^2-2xy+2x^2-9=0として、xをyの定数と
>して扱うという認識で良いでしょうか？

表現は少し問題があるかもしれません。
単純に(●)の式でyが実数になるための条件を考えればいいです。
つまり、√内が≧0になるような実数xの範囲を定めてやれば実数yが存在するという
認識で良いでしょう。すなわち、|x|≦3とすれば実数yが存在するということです。

お礼

いつもご回答ありがとうございます。
理解できました。

回答No.4

info22_

#1、#3です。

A#3の補足の回答

>y^2-2xy+2x^2-9=0は、ax^2+2b'x+c=0
と違いますが、同様なのはなぜでしょうか？

yについての2次方程式であって、実数yが存在する条件を求めているのですから、
xはとりあえずyとは関係の実数として扱って居るわけです。つまりyが実数が存在するための
実数xの条件を求めているわけで、実数はyは2次方程式ay^2+2b'y+c=0を満たす変数、xはyに対してa,b',cと同じ単なる実数として扱えばいいわけです。

y^2-2xy+2x^2-9=0を満たすyの実数条件から実数xのとりうる範囲が求まるわけです。
逆に、実数xについての2次方程式と見たときxの実数条件から実数yのとりうる範囲か求まるわけです。注目する変数の実数条件（判別式D≧0）を考える場合、他の変数は単なる実数の定数と考えて実数条件である判別式≧0を扱います。
よく理解しておいてください。

補足

いつもご回答ありがとうございます。
y=x±√（9－x^2）についての、
yの実数条件を求めるということだから、
y^2-2xy+2x^2-9=0として、xをyの定数と
して扱うという認識で良いでしょうか？

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の補足質問の回答

>＞4∫[0,3] √(9-x^2)dx
>＞x=3sin(t) (0≦t≦π/2)で置換すればS
>＞S=4∫[0,π/2] 3cos(t) 3cos(t)dt
>積分範囲は、分かるのすが、
>＞4∫[0,3] √(9-x^2)dxが4∫[0,π/2] 3cos(t) 3cos(t)dt
>となる理由が分かりません・・・

積分の中の式だけ取り出して書けば以下のように変形できる。
√(9-x^2)dx
にx=3sin(t)とdx=3cos(t)dt
を代入すればでてきませんか？しょうがないな～
√(9-x^2)dx=√(9-9sin^2(t))*3cos(t)dt
=√9√(1-sin^2(t))*3cos(t)dt
=3√(cos^2(t))*3sin(t)dt
=3cos(t)*3cos(t)dt (∵0≦t≦π/2なのでcos(t)≧0)

>また判別式ですが、
>D/4=x^2-(2x^2-9)=-(x-3)(x+3)≧0
>はどのように導かれるのでしょうか？

こんなことは習ってるはずですか？
ax^2+bx+c=0の解の公式は
x=(-b±√D)/(2a),判別式はD=b^2-4ac
ですが、
ax^2+2b'x+c=0, b=2b'
とxの一次の係数が2で括れる場合は
解の公式は
x=(-b'±√D')/a, 判別式はD'=D/4=b'^2-ac
と学んでいないのですか？
今の場合はD/4=b'^2-ac
で計算しているだけです。

補足

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

解の公式について、
＞ax^2+bx+c=0の解の公式は
＞x=(-b±√D)/(2a),判別式はD=b^2-4acですが、
＞ax^2+2b'x+c=0, b=2b'
＞とxの一次の係数が2で括れる場合は
＞解の公式は
＞x=(-b'±√D')/a, 判別式はD'=D/4=b'^2-ac
は理解できました。すいません。
ax^2+2b'x+c=0は理解できるのですが、
y^2-2xy+2x^2-9=0は、ax^2+2b'x+c=0
と違いますが、同様なのはなぜでしょうか？

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞積分範囲は、どのように求めればよいでしょうか？
xと yがともに実数であるような範囲ですね。
そうすれば、ルートの中が 0以上でなければならないことから求められると思います。

＞y=x±√（9－x^2）
上となる曲線から下となる曲線を差し引いて求めるわけですが、
y＝ √(9- x^2)に注目してみると、
これは半径：3の円の上半分であることがわかります。
ということは、y＝ -√(9- x^2)は下半分となりますね。

つまり、求めている積分は円の面積として計算できてしまうことになります。

回答No.1

info22_

>結果は同じですが、y=x±√（9－x^2）の±は
（－+：マイナスプラス）とした方がいいでしょうか？
式の変形過程からそうした方がいいでしょう。

あるいは、

> x-y=±√（9－x^2）

この式を出す段階で
　y-x=±√（9－x^2）
としておけば、
　y=x±√（9－x^2）
となって復号の問題を持ち出さなくて済んだでしょう。

>積分範囲は、どのように求めればよいでしょうか？
グラフを描いたのですが、グラフから-3～+3となる
ように思ったのですが、

それでいいです。
つまり
S=∫[-3,3][{x+√(9-x^2)}-{x-√(9-x^2)}]dx
=∫[-3,3] 2√(9-x^2)dx
=4∫[0,3] √(9-x^2)dx
x=3sin(t) (0≦t≦π/2)で置換すればS
S=4∫[0,π/2] 3cos(t) 3cos(t)dt
=18∫[0,π/2] {1+cos(2t)}dt
=18{π/2+sin(π)/2}
=9π

>（x-y)^2=9－x^2から、
>積分範囲を求めることができません。
ｙの実数条件を使えばいいでしょう。つまり
展開してyの2次方程式
y^2-2xy+2x^2-9=0
を導出し実数yの存在条件から判別式D/4=x^2-(2x^2-9)=-(x-3)(x+3)≧0
∴-3≦x≦3
とxの範囲がでてきます。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

＞4∫[0,3] √(9-x^2)dx
＞x=3sin(t) (0≦t≦π/2)で置換すればS
＞S=4∫[0,π/2] 3cos(t) 3cos(t)dt
積分範囲は、分かるのすが、
＞4∫[0,3] √(9-x^2)dxが4∫[0,π/2] 3cos(t) 3cos(t)dt
となる理由が分かりません・・・

また判別式ですが、
D/4=x^2-(2x^2-9)=-(x-3)(x+3)≧0
はどのように導かれるのでしょうか？

2次方程式の判別式は　Ｄ＝ｂ2－４ａｃ
だと思いますが、D/4=x^2-(2x^2-9)=-(x-3)(x+3)≧0
はどのように導かれているのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。