積分を使って面積を求める問題です。

質問

この問題が分かりません。

２つの曲線y^2=4x , x^2=4yで囲まれる部分の面積を求めなさい。

２つの曲線の交わる点を求めようとしたのですが、y^3=64となってしまい、求める事ができません。

解答を教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#146456 · ベストアンサー

xを消去したわけですね。それでもO.K.です。
y^3=64=4^3なのでy=4となります。

ところで2つの曲線の式をよく見てみるとxとyを入れ換えても
同じ式になることが分かります。
したがって2つの曲線はy=xについて対称性があることが分かります。

よって2曲線の式を連立してもよいのですが、この対称性を利用する
と例えばy=x^2/4とy=xを連立してもよいことになりこちらの方が
計算が簡単になります。

すると
x=x^2/4⇔x(x-4)=0⇔x=0,4
となるのでこれをy=xに代入することで2曲線の交点は(0,0)と(4,4)
となります。

よって2曲線で囲まれる部分は下図の灰色の部分になります。

よって求める面積はy=xとy=x^2/4で囲まれる部分の面積を2倍した
ものになることが分かります。

よって求める面積は
2∫[0,4](x-x^2/4)dx=2[x^2/2-x^3/12][0,4]
=16/3
となります。

お礼

グラフは書けて、灰色のところを求めるところまでは分かったのですが、そのあとが分からず、助かりました！
ありがとうございます！

迷ったのですが、こちらをベストアンサーとさせていただきます！
ありがとうございました！

回答No.3

info22_

>２つの曲線の交わる点を求めようとしたのですが、y^3=64となってしまい、求める事ができません。

交点を求める連立方程式の解き方
　y^2=4x　…(1)
　x^2=4y　…(2)
(2)-(1)より
　x^2-y^2=-4(x-y)
　(x-y)(x+y)+4(x-y)=0
(x-y)(x+y+4)=0
　x-y=0,x+y+4=0
x-y=0のとき　y＝x　…(3)
(3)を(2)に代入して　
　x^2=4x
　x(x-4)=0
　∴x=0,x=4
(3)よりyを求めると交点は(x,y)=(0,0),(4,4)…(4)
x+y+4=0の時　y=-x-4 …(5)
(4)を(2)に代入して　
　x^2=-4(x+4)
　x^2+4x+16=0
　(x+2)^2+12=0
実数解なし
　従ってこの場合は交点なし。
以上から交点の座標は(4)の(0,0),(4,4)の２つのみ。

２つの放物線(1)と(2)で囲まれた領域は描けますね。
囲まれた領域の面積は
　S=∫[0,4]　{2x^(1/2) -(x^2/4)}dx
　 =[(4/3)x^(3/2)-(1/12)x^3] [0,4]
=(4/3)*8-(64/12)
=16/3
で求められます。

領域がy=xについて対称であることに気が付けばその性質を使って
#2さんのようにも求められますね。

お礼

x^2の式からy^2を引けば求められたんですね！
ありがとうございます！

回答No.1

Tacosan

ん? なにをどうしたら y^3 = 64 なんて式が出てくるんですか?