難しい積分問題です。

質問

曲線 x^2 + y^2 = 2ax (a>0) が曲線 (x^2 + y^2)^2 = a^2 (x^2 - y^2)
により、切り取られる部分の面積を求めよ。
という問題が解けません。
わかる方、よろしくお願いします。
解けず、困っています。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

x^2 + y^2 = 2ax (a>0) は変形すると
(x-a)^2+y^2=a^2　...(※)
これは半径a,中心の座標(a,0)の円です。

(x^2 + y^2)^2 = a^2 (x^2 - y^2) (a>0)はレムニスケートと呼ばれる「原点が中心の∞の記号の形状をした曲線」です。x軸とｙ軸対称の２葉の閉曲線です。
x=rcosθ, y=rsinθとおいて極座標変換すると
　r^2=a^2 cos(2θ) (a>0)
とレムニスケート曲線の極座標形式になります。
書き換えれば
　r=±a√(cos(2θ) (-π/4≦θ≦π/4)
となり
x≧0の部分の曲線（一葉）の式は
r=a√(cos(2θ) (-π/4≦θ≦π/4)
となります。勿論(※)の円の内部に包含されます。
添付図参照。

求める積分領域Dは
D={(x,y)|(x^2+y^2)^2≦a^2 (x^2-y^2)、(x-a)^2+y^2≦a^2}
={(x,y)|(x^2+y^2)^2≦a^2 (x^2-y^2)、x≧0}
={(r,θ)|0≦r≦a√(cos(2θ),|θ|≦π/4}
したがって
求める面積S（図の水色の領域）は
S=∫∫[D] dxdy ,{(x,y)|(x^2+y^2)^2≦a^2 (x^2-y^2)、x≧0}
x=rcosθ, y=rsinθとおいて極座標による置換積分すると
=∫∫[D} rdrdθ, D={(r,θ)|0≦r≦a√(cos(2θ),|θ|≦π/4}
=∫[-π/4,π/4] dθ∫[0,a√(cos(2θ)] rdr
=∫[-π/4,π/4] dθ[r^2/2][0,a√(cos(2θ)]
=(1/2)∫[-π/4,π/4] a^2 cos(2θ)dθ
=a^2 ∫[0,π/4] cos(2θ) dθ
=a^2 [(1/2)sin(2θ)][0,π/4]
=a^2 * (1/2)
=(1/2)a^2 ...(答え)

回答No.1

noname#199771

問題文の意味が不明です。

両方の曲線の交点は(0,0)だけです。

前者の曲線はy軸に接する半径aの
円です。

点(x,y)が後者の曲線上にあるとき、
(x^2 + y^2)^2=a^2(x^2 - y^2)≦a^2(x^2 + y^2)
なので
x^2 + y^2≦a^2
となって半径aの円またはその内部に
あることがわかります。

また後者の曲線はx軸についてもy軸に
ついても対称なので、添付の図のような
位置関係にあることがわかります。

添付の画像で、円（赤い曲線）を青い
曲線（∞の形）で切り取られる部分の
面積とはどういう意味ですか？