数2の直線の方程式の問題です

質問

3点(x,0),(1/2,14),(0,y)が 同一直線上にあり、
x,yは正の整数でy≦25である。
このとき、x,yの値を求めよ。

この問題が分かりません。
どなたか解説付きで教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.12

KEIS050162

失礼しました。y≦25　でしたね。（ご指摘ありがとうございました）
なので、a'≦22 なので、a'=4、b'=16です。　

従って、x=4、y=16　でした。
たいへん失礼いたしました。

回答No.11

shuu_01

No. 10 さん、のっけから ケアレスミスしてます

＞　条件は、x、yは正の整数。y≧25。

問題文に 「x,yは正の整数でy≦25である。」
とあるので、違います

僕の最初の回答は y≧25　に思いっきり、
気づいてなかったので、人のこと言えませんが

でも、

＞　従って、x = b/a' =　1,　 y = b = 28。

僕の答えと違ってて、焦りました

回答No.10

KEIS050162

既に回答は出ている様ですが、参考になれば幸いです。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
平面上の三点P(0,y)、Q(1/2,14)、R(x,0)　を通る直線を　T=aS+b　とする。（ST平面とします。）
条件は、x、yは正の整数。y≧25。

点P、Rを考えると、x,yはともに正なので、直線は右肩下がりになる。従って、a ＜ 0。
また、点Pを通ることから、y=b。　従って、b≧25　かつ、bは整数。
後で面倒くさいので、a=-a'　となるa'を定義して直線の式を
　T=　-a'S　+　b　…（１）　とする。

点Qを代入：　14 =-1/2a'+b
　　　　　　　　　28+a' = 2b　…　（２）
ここで、b≧25で、bは整数なので、a'≧22 かつ、a'は整数となる。

点Rを代入：　0 = -a'x + b
　　　　　　　　x = b/a'　…　（３）

ここで、x,b,a'はすべて正の整数なので、b = na　（nは正の整数）となる。
これを（１）に代入する。
　　　　　　　　　28+a' = 2na'
　　　　　　　　　　28 = (1+2n)a'　…　（４）

n、a'は正の整数なので、(1+2n)　は正の奇数となる。
28の因数は、1,2,4,7,14,28　で、この内奇数となるのは、1、7のみなので、a'の取り得る値は、4, 28。
a'≧22なので、a'=28。　（２）に代入して　b=28　となる。

従って、x = b/a' =　1,　 y = b = 28。

回答No.9

178-tall

不用意なミスあり、訂正。

次は (1/2,14) 。これは 14 = (a/2) + b を意味する。
つまり、a = 2*(14 -b) 。

回答No.8

178-tall

3点 (xo,0), (1/2,14), (0,yo) が同一直線上にあり、xo, yo は正の整数で yo≦25 である。
xo, yo の値を求めよ。
　　　↑
…とリライトしたほうが、マギれずに済みそう。

「レーダー航法」なら一次不定方程式の技法ですが、「目視航法」でターゲットを絞る手法のほうが楽そう。
以下、「目視航法」です。

yo≦25, (xo,0), (0,yo) の xo, yo が正の整数だというから、想定直線 y=ax+b の a, b は負でなければならず、14 < yo でなければならぬこともわかります。
次は (1/2,14) 。これは 14 = (a/2) + b を意味する。
つまり、b = 14 - (a/2) 。

ようやく、ターゲットを絞る作業です。
これは、シラミつぶし。

　b　　　　a　　　xo
----　　　---　　 ---
15　　　 -2.00　　7.50
16　　　 -4.00　　4.00　← ターゲット
17　　　 -6.00　　2.83
18　　　 -8.00　　2.25
19　　　-10.00　　1.90
20　　　-12.00　　1.67
21　　　-14.00　　1.50
22　　　-16.00　　1.38
23　　　-18.00　　1.28
24　　　-20.00　　1.20
25　　　-22.00　　1.14

「レーダー航法」なら、端数のある xo には見向きもしません。
けれど、慣れてないと袋小路に入り易いかも…。

結構、「いけず」な問題なのです。

回答No.7

shuu_01

普通、直線は ax + bs + c = 0 とか y = ax + b

と xy 平面で表しますが、

今回は 3点(x,0),(1/2,14),(0,y) の中に x、y が
使われており、混乱を避けるため、
傾きが一緒という式で解くことにしました

問題文が 3点(m,0),(1/2,14),(0,n) とかなら、

y = ax + b に代入して解いてたと思います

また、x、y が正の整数ということで、

y の範囲を絞れるのですが、それで 15～25 まで
一つ一つ調べるの大変です

14 = 1・2・7 で 7 の倍数に絞れることに気付くと
後は簡単です

お礼

他の求め方も教えてくださり助かります。
少し疑問に思っていたとこなので…
とても分かりやすかったです
ありがとうございました！

回答No.6

shuu_01

ああぁぁぁっ！ なんか最後またケアレスミスしてました

本当にごめんなさい！！

点(x,0)　と 点(1/2,14) の傾きは　-14 / ( x - 1/2）

点 (1/2,14) と 点 (0,y) の傾きは （14 - y） / （1/2）

これらが 同一直線上にあるということは、傾きも同じなので

-14 / ( x － 1/2） ＝ （14 － y） / （1/2）

（y － 14）（ 2 x -1） ＝ 14

x は正の整数なので、y - 14 も正の整数

2 x - 1 は奇数

14 は 1・2・7

なので、2 x - 1 ＝ 1 あるいは 2 x - 1＝ 7

x ＝ 1、y ＝ 28　あるいは x ＝ 4、y ＝ 16

y ≦ 25 なので

【答】　x ＝ 4、y ＝ 16

お礼

いえ、何度も何度もありがとうございます！
とても分かりやすい説明で親切心が伝わってきました
おかげで無事理解することができました
ありがとうございます！

回答No.5

shuu_01

あ、y ≦ 25 というの忘れてたので、さらに訂正します：

点(x,0)　と 点(1/2,14) の傾きは　-14 / ( x - 1/2）

点 (1/2,14) と 点 (0,y) の傾きは （14 - y） / （1/2）

これらが 同一直線上にあるということは、傾きも同じなので

-14 / ( x － 1/2） ＝ （14 － y） / （1/2）

（y － 14）（ 2 x -1） ＝ 14

x は正の整数なので、y - 14 も正の整数

2 x - 1 は奇数

14 は 1・2・7

なので、2 x - 1 ＝ 1 あるいは 2 x - 1＝ 7

x ＝ 1、y ＝ 28　あるいは x ＝ 4、y ＝ 28

y ≦ 25 なので

【答】　x ＝ 1、y ＝ 28

回答No.4

shuu_01

No.3 の最後の答えは正しいのですが、途中で入らない行が
あったので、１部 訂正しました：

点(x,0)　と 点(1/2,14) の傾きは　-14 / ( x - 1/2）

点 (1/2,14) と 点 (0,y) の傾きは （14 - y） / （1/2）

これらが 同一直線上にあるということは、傾きも同じなので

-14 / ( x － 1/2） ＝ （14 － y） / （1/2）

（y － 14）（ 2 x -1） ＝ 14

x は正の整数なので、y - 14 も正の整数

2 x - 1 は奇数

14 は 1・2・7

なので、2 x - 1 ＝ 1 あるいは 2 x - 1＝ 7

【答】　x ＝ 1、y ＝ 28　あるいは x ＝ 4、y ＝ 28

回答No.3

shuu_01

点(x,0)　と 点(1/2,14) の傾きは　-14 / ( x - 1/2）

点 (1/2,14) と 点 (0,y) の傾きは （14 - y） / （1/2）

これらが 同一直線上にあるということは、傾きも同じなので

-14 / ( x － 1/2） ＝ （14 － y） / （1/2）

（y － 14）（ 2 x -1） ＝ 14

x は正の整数なので、 y － 14 ＞ 0

14 ＜ y　≦ 25

2 x - 1 は奇数

14 は 1・2・7

なので、2 x - 1 ＝ 1 あるいは 2 x - 1＝ 7

【答】　x ＝ 1、y ＝ 28　あるいは x ＝ 4、y ＝ 28